Номер 13, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Изобразите схематически графики уравнений и выясните, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то сколько:

a) $\begin{cases} y = x^2 - 5 \\ y = -x^2 + 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = -3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases}$

Ответ: а) ................. б) ................. в) ................. г) .................

а) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y = x^2 - 5 \\ y = -x^2 + 1 \end{cases} $. Первое уравнение, $y = x^2 - 5$, задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -5)$. Второе уравнение, $y = -x^2 + 1$, задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Схематически, первая парабола — это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 5 единиц вниз. Вторая — это перевернутая парабола $y=-x^2$, смещенная на 1 единицу вверх. Поскольку вершина второй параболы $(0, 1)$ находится выше вершины первой $(0, -5)$, и их ветви направлены навстречу друг другу (одна вверх, другая вниз), графики обязательно пересекутся. Так как обе параболы симметричны относительно оси $y$, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси. Чтобы убедиться в этом, приравняем правые части уравнений: $x^2 - 5 = -x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} xy = -3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $xy = -3$ или $y = -3/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Второе уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Определим, пересекаются ли эти графики. Найдем минимальное расстояние от начала координат до любой точки на гиперболе. Квадрат расстояния от точки $(x, y)$ на гиперболе до начала координат равен $d^2 = x^2 + y^2$. Подставив $y = -3/x$, получим $d^2 = x^2 + (-3/x)^2 = x^2 + 9/x^2$. Минимальное значение этой функции достигается при $x^2=3$ и равно $3+9/3 = 6$. Следовательно, минимальное расстояние от начала координат до гиперболы равно $d_{min} = \sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, а радиус окружности $R = 2$, минимальное расстояние до гиперболы больше радиуса окружности ($d_{min} > R$). Это означает, что гипербола полностью находится за пределами окружности, и графики не пересекаются.
Ответ: нет решений.

в) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = -x^2 + 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение, $y = -x^2 + 4$, — это парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз. Вершина параболы $(0, 4)$ находится вне окружности, так как ее самая высокая точка — $(0, 3)$. Парабола открывается вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью $x$: $0 = -x^2 + 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки $(\pm 2, 0)$ лежат внутри окружности, так как расстояние от них до центра равно 2, что меньше радиуса 3. Поскольку парабола "начинается" над окружностью (в своей вершине), а затем проходит через точки внутри окружности, она должна пересечь окружность. Так как обе фигуры симметричны относительно оси $y$, парабола пересечет окружность в двух точках с $y>0$ и в двух точках с $y<0$. Алгебраическое решение подтверждает это: подставим $x^2 = 4 - y$ из второго уравнения в первое: $(4 - y) + y^2 = 9 \Rightarrow y^2 - y - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-5) = 21 > 0$, значит, есть два различных значения $y$, при которых происходит пересечение. Для каждого из этих значений $y$ мы получаем $x^2 = 4-y$, что дает два различных значения $x$ (кроме случая $x=0$). Это приводит к четырем точкам пересечения.
Ответ: 4 решения.

г) Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases} $. Перепишем систему в стандартном виде: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x^2 + (y - 2)^2 = 4 \end{cases} $. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в точке $C_1(0, 0)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{16} = 4$. Второе уравнение, $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, задает окружность с центром в точке $C_2(0, 2)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{4} = 2$. Для определения взаимного расположения окружностей найдем расстояние между их центрами: $d = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = 2$. Сравним это расстояние с суммой и разностью радиусов: $R_1 + R_2 = 4 + 2 = 6$; $|R_1 - R_2| = |4 - 2| = 2$. Поскольку расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |R_1 - R_2|$), окружности касаются внутренним образом. Это означает, что у них есть только одна общая точка. Схематически, меньшая окружность находится внутри большей и касается ее в одной точке. Эта точка — $(0, 4)$, что можно проверить, подставив координаты в оба уравнения.
Ответ: 1 решение.