Номер 2, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} 3x + y - 4 = 0 \\ 9x - 3y - 12 = 0 \end{cases}$б) $\begin{cases} 2x + 7y - 4 = 0 \\ x + 3,5y - 2 = 0 \end{cases}$в) $\begin{cases} 6x - 4y - 9 = 0 \\ 9x - 6y - 4 = 0 \end{cases}$

Ответ: a) .................... б) .................... в) ....................

Чтобы определить число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, можно сравнить отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов. Для системы вида:

$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$

• Если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно решение (прямые пересекаются).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений (прямые параллельны и не совпадают).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).

а) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 3x + y - 4 = 0 \\ 9x - 3y - 12 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=3, b_1=1, c_1=-4$ и $a_2=9, b_2=-3, c_2=-12$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ($\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{3}$), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + 7y - 4 = 0 \\ x + 3.5y - 2 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=2, b_1=7, c_1=-4$ и $a_2=1, b_2=3.5, c_2=-2$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{7}{3.5} = 2$.
Отношение свободных членов: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ ($2=2=2$), уравнения пропорциональны. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 6x - 4y - 9 = 0 \\ 9x - 6y - 4 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=6, b_1=-4, c_1=-9$ и $a_2=9, b_2=-6, c_2=-4$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$.
Отношение свободных членов: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ($\frac{2}{3} \neq \frac{9}{4}$), графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Следовательно, у системы нет общих точек, и она не имеет решений.
Ответ: нет решений.