Страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Среди чисел 1,69; 2,5; 0; -1,8; 1,8; $2\frac{1}{3}$; 2,2; $\pi$; $2\frac{2}{11}$; $1,7(5)$ найдите такие, которые заключены между числами $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

.................

.................

.................

.................

Ответ: .......................

Чтобы найти числа, которые заключены между $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$, нужно определить, какие из предложенных чисел $x$ удовлетворяют двойному неравенству $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$.

Наиболее точный способ — сравнение квадратов. Если число $x$ положительное, то неравенство $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ равносильно неравенству $(\sqrt{3})^2 < x^2 < (\sqrt{5})^2$, то есть $3 < x^2 < 5$.

Для быстрой оценки можно использовать приближенные значения: $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{5} \approx 2,236$. Искомые числа должны лежать в интервале $(1,732; 2,236)$.

Проанализируем каждое число из списка.

1,69

Возведем число в квадрат: $1,69^2 = 2,8561$. Так как $2,8561 < 3$, то $1,69 < \sqrt{3}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

2,5

Возведем число в квадрат: $2,5^2 = 6,25$. Так как $6,25 > 5$, то $2,5 > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

0

Это число меньше $\sqrt{3} \approx 1,732$, поэтому оно не входит в интервал.

Ответ: не подходит.

-1,8

Это отрицательное число, а числа в интервале $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ являются положительными. Следовательно, оно не входит в интервал.

Ответ: не подходит.

1,8

Возведем число в квадрат: $1,8^2 = 3,24$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 3,24 < 5$, то $\sqrt{3} < 1,8 < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

$2\frac{1}{3}$

Переведем в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Возведем в квадрат: $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$. Так как $5\frac{4}{9} > 5$, то $2\frac{1}{3} > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

2,2

Возведем число в квадрат: $2,2^2 = 4,84$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 4,84 < 5$, то $\sqrt{3} < 2,2 < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

$\pi$

Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. Это значение очевидно больше, чем $\sqrt{5} \approx 2,236$. Возведем в квадрат: $\pi^2 \approx (3,14159)^2 \approx 9,87$. Так как $9,87 > 5$, то $\pi > \sqrt{5}$. Это число не входит в заданный интервал.

Ответ: не подходит.

$2\frac{2}{11}$

Переведем в неправильную дробь: $2\frac{2}{11} = \frac{24}{11}$. Возведем в квадрат: $(\frac{24}{11})^2 = \frac{576}{121}$. Выполним деление: $576 \div 121 \approx 4,76$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 4,76 < 5$, то $\sqrt{3} < 2\frac{2}{11} < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

1,7(5)

Переведем периодическую дробь в обыкновенную. Пусть $x = 1,7555...$. Тогда $10x = 17,555...$ и $100x = 175,555...$. Отсюда $90x = 100x - 10x = 158$, и $x = \frac{158}{90} = \frac{79}{45}$. Возведем в квадрат: $(\frac{79}{45})^2 = \frac{6241}{2025}$. Выполним деление: $6241 \div 2025 \approx 3,08$. Поскольку выполняется неравенство $3 < 3,08 < 5$, то $\sqrt{3} < 1,7(5) < \sqrt{5}$. Это число входит в заданный интервал.

Ответ: подходит.

Таким образом, в интервал $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ входят числа: 1,8; 2,2; $2\frac{2}{11}$; 1,7(5).

5. Каким из множеств $N, Z, Q$ и $R$ принадлежит число (запишите, используя знак $\in$):

а) 45 .................;

б) -51,07 ...........................;

в) 1,63(4) ..........................;

г) $3\pi$ ...................?

Для решения этой задачи необходимо определить, к каким из указанных числовых множеств относится каждое из чисел. Вспомним определения этих множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это целые положительные числа, используемые при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Оно включает натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$). К рациональным числам относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных непериодических десятичных дробей).

Между этими множествами существуют отношения вложенности: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое число, принадлежащее более "узкому" множеству, автоматически принадлежит и всем более "широким".

Число 45 является положительным и целым, следовательно, оно натуральное. Значит, $45 \in N$.

Поскольку $N \subset Z \subset Q \subset R$, число 45 также является целым, рациональным и действительным числом. Его можно представить в виде дроби $\frac{45}{1}$.

Таким образом, число 45 принадлежит всем четырём множествам.

Ответ: $45 \in N, 45 \in Z, 45 \in Q, 45 \in R$.

Число -51,07 является отрицательным и имеет дробную часть, поэтому оно не является ни натуральным ($N$), ни целым ($Z$) числом.

Это число представляет собой конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. В данном случае: $-51,07 = -\frac{5107}{100}$.

Так как число представимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым числителем и натуральным знаменателем, оно является рациональным: $-51,07 \in Q$.

Все рациональные числа являются действительными, поэтому $-51,07 \in R$.

Ответ: $-51,07 \in Q, -51,07 \in R$.

Число 1,63(4) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $1,63444...$. Оно не является ни натуральным, ни целым.

Любая периодическая дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде обыкновенной дроби. Выполним преобразование:

Пусть $x = 1,63(4)$. Тогда $100x = 163,(4)$ и $1000x = 1634,(4)$.

Вычтем из второго равенства первое: $1000x - 100x = 1634,(4) - 163,(4)$, что дает $900x = 1471$.

Отсюда $x = \frac{1471}{900}$.

Поскольку число представлено в виде дроби, оно рациональное: $1,63(4) \in Q$.

Как и любое рациональное число, оно также является действительным: $1,63(4) \in R$.

Ответ: $1,63(4) \in Q, 1,63(4) \in R$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, то есть его десятичное представление бесконечно и непериодично. Число $3\pi$ — это произведение рационального числа 3 на иррациональное число $\pi$. Произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационально.

Следовательно, число $3\pi$ не является ни натуральным ($N$), ни целым ($Z$), ни рациональным ($Q$).

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Так как $3\pi$ — иррациональное число, оно принадлежит множеству действительных чисел.

Ответ: $3\pi \in R$.

6. Запишите, используя знак $∈$, утверждение:

а) число $3,5$ не является целым .......................;

б) число $71,8$ является рациональным .........................;

в) число $-27$ не является натуральным .......................;

г) число $54$ является целым ......................;

д) число $-\sqrt{7}$ является действительным ..................... .

а) Для того чтобы записать утверждение "число 3,5 не является целым", мы используем общепринятое обозначение для множества целых чисел — $\mathbb{Z}$. Знак принадлежности к множеству — $\in$, а знак непринадлежности — $\notin$. Поскольку 3,5 является дробным числом, оно не входит в множество целых чисел.

Ответ: $3,5 \notin \mathbb{Z}$

б) Утверждение "число 71,8 является рациональным" записывается с использованием обозначения для множества рациональных чисел — $\mathbb{Q}$. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число 71,8 можно представить как дробь $\frac{718}{10}$ (или, после сокращения, $\frac{359}{5}$), поэтому оно является рациональным.

Ответ: $71,8 \in \mathbb{Q}$

в) Для утверждения "число -27 не является натуральным" мы используем обозначение для множества натуральных чисел — $\mathbb{N}$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Отрицательное число -27 не является натуральным.

Ответ: $-27 \notin \mathbb{N}$

г) Утверждение "число 54 является целым" записывается с использованием множества целых чисел $\mathbb{Z}$. Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль. Число 54 является натуральным, а значит и целым числом.

Ответ: $54 \in \mathbb{Z}$

д) Для утверждения "число $-\sqrt{7}$ является действительным" мы используем обозначение для множества действительных (или вещественных) чисел — $\mathbb{R}$. Множество действительных чисел включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число $\sqrt{7}$ является иррациональным, следовательно, $-\sqrt{7}$ также является иррациональным, а значит и действительным числом.

Ответ: $-\sqrt{7} \in \mathbb{R}$

7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{2}{9}$

б) $\frac{1}{6}$

в) $\frac{3}{11}$

г) $3\frac{5}{12}$

д) $5\frac{7}{22}$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь $\frac{2}{9}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо разделить ее числитель на знаменатель. Выполним деление числа 2 на 9 столбиком:

$2 \div 9 = 0,...$
Поскольку 2 меньше 9, целая часть десятичной дроби равна 0. Сносим ноль.
$20 \div 9 = 2$ с остатком $2$.
К остатку 2 снова сносим ноль.
$20 \div 9 = 2$ с остатком $2$.
Процесс деления показывает, что остаток 2 будет повторяться бесконечно, а значит, и цифра 2 в частном тоже будет повторяться. Такая дробь называется чистой периодической.

$\frac{2}{9} = 0,222... = 0,(2)$

Ответ: $0,(2)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной дроби, разделим 1 на 6:

$1 \div 6 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$10 \div 6 = 1$ с остатком $4$.
К остатку 4 сносим ноль.
$40 \div 6 = 6$ с остатком $4$.
Так как остаток 4 начал повторяться, цифра 6 в частном будет повторяться бесконечно. В данном случае дробь является смешанной периодической, где цифра 1 не повторяется (предпериод), а цифра 6 повторяется (период).

$\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1(6)$

Ответ: $0,1(6)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{3}{11}$ в виде десятичной дроби, разделим 3 на 11:

$3 \div 11 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$30 \div 11 = 2$ с остатком $8$.
К остатку 8 сносим ноль.
$80 \div 11 = 7$ с остатком $3$.
К остатку 3 сносим ноль, получая 30. Мы видим, что делимое 30 повторилось, значит, остатки и цифры в частном начнут повторяться. Повторяющаяся группа цифр (период) — это 27.

$\frac{3}{11} = 0,2727... = 0,(27)$

Ответ: $0,(27)$

г) Число $3\frac{5}{12}$ является смешанным. Его целая часть равна 3. Чтобы представить это число в виде десятичной дроби, нужно найти десятичное представление его дробной части $\frac{5}{12}$ и прибавить к целой части. Разделим 5 на 12:

$5 \div 12 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$50 \div 12 = 4$ с остатком $2$.
К остатку 2 сносим ноль.
$20 \div 12 = 1$ с остатком $8$.
К остатку 8 сносим ноль.
$80 \div 12 = 6$ с остатком $8$.
Остаток 8 начал повторяться, значит, цифра 6 будет периодом. Цифры 41 составляют предпериод.

Таким образом, $\frac{5}{12} = 0,41666... = 0,41(6)$.

Тогда $3\frac{5}{12} = 3 + 0,41(6) = 3,41(6)$.

Ответ: $3,41(6)$

д) Число $5\frac{7}{22}$ — смешанное, его целая часть равна 5. Представим дробную часть $\frac{7}{22}$ в виде десятичной дроби, разделив 7 на 22:

$7 \div 22 = 0,...$
Целая часть равна 0. Сносим ноль.
$70 \div 22 = 3$ с остатком $4$.
К остатку 4 сносим ноль.
$40 \div 22 = 1$ с остатком $18$.
К остатку 18 сносим ноль.
$180 \div 22 = 8$ с остатком $4$.
Остаток 4 повторился, следовательно, последовательность цифр в частном начнет повторяться. Периодом будет группа цифр 18, а предпериодом — цифра 3.

Таким образом, $\frac{7}{22} = 0,31818... = 0,3(18)$.

Тогда $5\frac{7}{22} = 5 + 0,3(18) = 5,3(18)$.

Ответ: $5,3(18)$

2. Определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} 3x + y - 4 = 0 \\ 9x - 3y - 12 = 0 \end{cases}$б) $\begin{cases} 2x + 7y - 4 = 0 \\ x + 3,5y - 2 = 0 \end{cases}$в) $\begin{cases} 6x - 4y - 9 = 0 \\ 9x - 6y - 4 = 0 \end{cases}$

Ответ: a) .................... б) .................... в) ....................

Чтобы определить число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, можно сравнить отношения коэффициентов при соответствующих переменных и свободных членов. Для системы вида:

$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$

• Если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно решение (прямые пересекаются).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений (прямые параллельны и не совпадают).
• Если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).

а) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 3x + y - 4 = 0 \\ 9x - 3y - 12 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=3, b_1=1, c_1=-4$ и $a_2=9, b_2=-3, c_2=-12$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ($\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{3}$), графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + 7y - 4 = 0 \\ x + 3.5y - 2 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=2, b_1=7, c_1=-4$ и $a_2=1, b_2=3.5, c_2=-2$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{7}{3.5} = 2$.
Отношение свободных членов: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ ($2=2=2$), уравнения пропорциональны. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: бесконечно много решений.

в) Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases} 6x - 4y - 9 = 0 \\ 9x - 6y - 4 = 0 \end{cases}$
Коэффициенты уравнений: $a_1=6, b_1=-4, c_1=-9$ и $a_2=9, b_2=-6, c_2=-4$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Отношение коэффициентов при $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$.
Отношение свободных членов: $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$.
Так как $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ($\frac{2}{3} \neq \frac{9}{4}$), графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Следовательно, у системы нет общих точек, и она не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3. Известно, что одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными $5x - 3y = 4$. Подберите второе уравнение так, чтобы система:

а) имела единственное решение:

б) не имела решений:

в) имела бесконечное множество решений:

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Количество решений такой системы определяется соотношением коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Система имеет единственное решение (прямые пересекаются), если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Система не имеет решений (прямые параллельны), если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
• Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если все три отношения равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

В данном задании первое уравнение системы $5x - 3y = 4$. Следовательно, мы имеем коэффициенты $a_1 = 5$, $b_1 = -3$ и $c_1 = 4$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого случая.

а) имела единственное решение:

Чтобы система имела единственное решение, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Подставив известные коэффициенты, получим: $\frac{5}{a_2} \neq \frac{-3}{b_2}$.

Нужно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы это неравенство было верным. Например, возьмем $a_2=2$ и $b_2=1$. Проверим условие: $\frac{5}{2} \neq \frac{-3}{1}$ — это верное неравенство. Коэффициент $c_2$ может быть любым, например, $c_2=1$.

Таким образом, второе уравнение может быть $2x + y = 1$.

Ответ: $2x + y = 1$ (возможен любой другой ответ, для которого не выполняется пропорция $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, например, $x+y=0$).

б) не имела решений:

Чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Подставим известные значения: $\frac{5}{a_2} = \frac{-3}{b_2} \neq \frac{4}{c_2}$.

Для выполнения первой части равенства $\frac{5}{a_2} = \frac{-3}{b_2}$, коэффициенты $a_2$ и $b_2$ должны быть пропорциональны $a_1=5$ и $b_1=-3$. Самый простой вариант — взять $a_2 = 5$ и $b_2 = -3$. Тогда отношение будет равно 1.

Теперь нужно удовлетворить второй части условия: $\frac{5}{5} \neq \frac{4}{c_2}$, то есть $1 \neq \frac{4}{c_2}$, откуда $c_2 \neq 4$. Выберем любое значение для $c_2$, не равное 4, например, $c_2 = 1$.

Таким образом, второе уравнение может быть $5x - 3y = 1$.

Ответ: $5x - 3y = 1$ (возможен любой другой ответ вида $5kx - 3ky = m$, где $m \neq 4k$).

в) имела бесконечное множество решений:

Чтобы система имела бесконечное множество решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Это означает, что второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое ненулевое число $k$. Возьмем, к примеру, $k=2$.

Умножим все коэффициенты первого уравнения на 2:

$a_2 = 5 \cdot 2 = 10$

$b_2 = (-3) \cdot 2 = -6$

$c_2 = 4 \cdot 2 = 8$

Получаем второе уравнение: $10x - 6y = 8$. Проверим равенство отношений: $\frac{5}{10} = \frac{-3}{-6} = \frac{4}{8}$, что равносильно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.

Ответ: $10x - 6y = 8$ (возможно любое уравнение, полученное умножением исходного $5x - 3y = 4$ на любое ненулевое число).

4. При каком значении параметра $a$ прямые $3x - 8y = 2$ и $4x - y = a$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $y$?

Ответ: $a = \ldots$

По условию, прямые $3x - 8y = 2$ и $4x - y = a$ пересекаются в точке, принадлежащей оси $y$.

Любая точка, которая лежит на оси $y$, имеет координату $x$, равную нулю. Пусть точка пересечения имеет координаты $(x_0, y_0)$. Согласно условию, $x_0 = 0$.

Так как точка пересечения принадлежит обеим прямым, её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Мы можем найти координату $y_0$, подставив $x_0 = 0$ в первое уравнение, так как оно не содержит параметр $a$:
$3 \cdot 0 - 8y_0 = 2$
$0 - 8y_0 = 2$
$-8y_0 = 2$
$y_0 = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

Таким образом, точка пересечения данных прямых имеет координаты $(0, -\frac{1}{4})$.

Теперь подставим координаты этой точки $(0, -\frac{1}{4})$ во второе уравнение, чтобы найти значение параметра $a$:
$4x_0 - y_0 = a$
$4 \cdot 0 - (-\frac{1}{4}) = a$
$0 + \frac{1}{4} = a$
$a = \frac{1}{4}$

Следовательно, при $a = \frac{1}{4}$ прямые пересекаются в точке на оси $y$.

Ответ: $a = \frac{1}{4}$