Страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

9. Сравните числа (ответ запишите в виде равенства или неравенства):

а) $-3,71...$ и $4,235...$;

б) $-7,523...$ и $-2,352...$;

в) $-6,01$ и $-3,808$;

г) $-1,985$ и $0,893$.

а) Для сравнения чисел $-3,71...$ и $4,235...$ обратим внимание на их знаки. Число $-3,71...$ является отрицательным, так как перед ним стоит знак минус. Число $4,235...$ является положительным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $-3,71... < 4,235...$

б) Сравниваем два отрицательных числа: $-7,523...$ и $-2,352...$. При сравнении отрицательных чисел, большим является то число, модуль которого меньше. Найдем модули данных чисел: $|-7,523...| = 7,523...$ и $|-2,352...| = 2,352...$. Так как целая часть первого модуля ($7$) больше целой части второго модуля ($2$), то $7,523... > 2,352...$. Следовательно, число с большим модулем будет меньше.
Ответ: $-7,523... < -2,352...$

в) Сравниваем числа $-6,01$ и $-3,808$. Оба числа отрицательные. Чтобы их сравнить, сравним их модули: $|-6,01| = 6,01$ и $|-3,808| = 3,808$. Сравнивая целые части модулей, видим, что $6 > 3$, значит $6,01 > 3,808$. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Таким образом, $-6,01$ меньше, чем $-3,808$.
Ответ: $-6,01 < -3,808$

г) Сравниваем числа $-1,985$ и $0,893$. Число $-1,985$ — отрицательное, а число $0,893$ — положительное. Любое отрицательное число меньше нуля, а любое положительное число больше нуля. Следовательно, отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $-1,985 < 0,893$

10. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: $\sqrt{2}$; $\sqrt{7}$; $\sqrt{11}$; $\sqrt{30}$; $\sqrt{120}$.

В ответе запишите двойное неравенство

$2 < \sqrt{5} < 3$, так как $2 = \sqrt{4}$, $3 = \sqrt{9}$, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$.

$\sqrt{2}$
Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt{2}$, нужно найти два последовательных натуральных числа, квадраты которых находятся по обе стороны от числа 2. Рассмотрим квадраты последовательных натуральных чисел: $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$.
Так как $1 < 2 < 4$, то из этого следует, что $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$.
Выполняя вычисления, получаем двойное неравенство: $1 < \sqrt{2} < 2$.
Ответ: $1 < \sqrt{2} < 2$

$\sqrt{7}$
Найдем квадраты последовательных натуральных чисел, между которыми находится число 7.
$2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $4 < 7 < 9$, то верно и неравенство для корней: $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$.
Следовательно, получаем двойное неравенство: $2 < \sqrt{7} < 3$.
Ответ: $2 < \sqrt{7} < 3$

$\sqrt{11}$
Найдем квадраты последовательных натуральных чисел, между которыми находится число 11.
$3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Поскольку $9 < 11 < 16$, то верно и неравенство для корней: $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$.
Следовательно, получаем двойное неравенство: $3 < \sqrt{11} < 4$.
Ответ: $3 < \sqrt{11} < 4$

$\sqrt{30}$
Найдем квадраты последовательных натуральных чисел, между которыми находится число 30.
$5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.
Поскольку $25 < 30 < 36$, то верно и неравенство для корней: $\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36}$.
Следовательно, получаем двойное неравенство: $5 < \sqrt{30} < 6$.
Ответ: $5 < \sqrt{30} < 6$

$\sqrt{120}$
Найдем квадраты последовательных натуральных чисел, между которыми находится число 120.
$10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.
Поскольку $100 < 120 < 121$, то верно и неравенство для корней: $\sqrt{100} < \sqrt{120} < \sqrt{121}$.
Следовательно, получаем двойное неравенство: $10 < \sqrt{120} < 11$.
Ответ: $10 < \sqrt{120} < 11$

11. Сравните числа (ответ запишите в виде равенства или неравенства):

а) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$ ...........................;

б) $0,4\sqrt{6}$ и $0,3\sqrt{8}$ ...........................;

в) $\sqrt{78}$ и $0,2\sqrt{3900}$ ...........................;

г) $-3\sqrt{0,3}$ и $-\sqrt{0,9}$ ........................... .

а) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$, внесем множители под знак корня. Для этого возведем множитель перед корнем в квадрат и умножим на подкоренное выражение.

Для первого числа: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Для второго числа: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $12 < 18$.

Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$, то из $12 < 18$ следует, что $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$

б) Сравним числа $0,4\sqrt{6}$ и $0,3\sqrt{8}$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Чем больше квадрат числа, тем больше само число.

Возведем в квадрат первое число: $(0,4\sqrt{6})^2 = (0,4)^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 0,16 \cdot 6 = 0,96$.

Возведем в квадрат второе число: $(0,3\sqrt{8})^2 = (0,3)^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 0,09 \cdot 8 = 0,72$.

Сравниваем полученные результаты: $0,96 > 0,72$.

Так как $(0,4\sqrt{6})^2 > (0,3\sqrt{8})^2$, то и $0,4\sqrt{6} > 0,3\sqrt{8}$.

Ответ: $0,4\sqrt{6} > 0,3\sqrt{8}$

в) Сравним числа $\sqrt{78}$ и $0,2\sqrt{3900}$. Преобразуем второе число, внеся множитель $0,2$ под знак корня.

$0,2\sqrt{3900} = \sqrt{(0,2)^2 \cdot 3900} = \sqrt{0,04 \cdot 3900}$.

Вычислим произведение под корнем: $0,04 \cdot 3900 = 4 \cdot 39 = 156$.

Таким образом, второе число равно $\sqrt{156}$.

Теперь сравним $\sqrt{78}$ и $\sqrt{156}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $78 < 156$.

Так как $78 < 156$, то $\sqrt{78} < \sqrt{156}$.

Следовательно, $\sqrt{78} < 0,2\sqrt{3900}$.

Ответ: $\sqrt{78} < 0,2\sqrt{3900}$

г) Сравним отрицательные числа $-3\sqrt{0,3}$ и $-\sqrt{0,9}$. Для этого сначала сравним их модули (положительные значения): $3\sqrt{0,3}$ и $\sqrt{0,9}$.

Внесем множитель $3$ под знак корня в первом числе: $3\sqrt{0,3} = \sqrt{3^2 \cdot 0,3} = \sqrt{9 \cdot 0,3} = \sqrt{2,7}$.

Теперь сравним $\sqrt{2,7}$ и $\sqrt{0,9}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $2,7 > 0,9$.

Следовательно, $\sqrt{2,7} > \sqrt{0,9}$, а значит $3\sqrt{0,3} > \sqrt{0,9}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Из большего по модулю положительного числа получается меньшее отрицательное число.

Так как $3\sqrt{0,3} > \sqrt{0,9}$, то $-3\sqrt{0,3} < -\sqrt{0,9}$.

Ответ: $-3\sqrt{0,3} < -\sqrt{0,9}$

8. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и на 16 больше их произведения.

Решение.

Решение.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — любым целым числом от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$, а их произведение — $a \cdot b$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Число в 4 раза больше суммы его цифр: $10a + b = 4(a + b)$.

2. Число на 16 больше произведения его цифр: $10a + b = ab + 16$.

Система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} 10a + b = 4(a + b) \\ 10a + b = ab + 16 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:

$10a + b = 4a + 4b$

$10a - 4a = 4b - b$

$6a = 3b$

Разделив обе части на 3, получаем:

$b = 2a$

Теперь подставим выражение $b = 2a$ во второе уравнение системы:

$10a + (2a) = a(2a) + 16$

$12a = 2a^2 + 16$

Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2a^2 - 12a + 16 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$a^2 - 6a + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, которые в произведении дают 8, а в сумме — 6. Это числа 2 и 4.

$(a - 2)(a - 4) = 0$

Отсюда следуют два возможных значения для $a$:

$a_1 = 2$

$a_2 = 4$

Оба значения являются допустимыми, так как $a$ — это цифра десятков.

Теперь найдем соответствующие значения для $b$ для каждого случая, используя соотношение $b = 2a$:

1. Если $a = 2$, то $b = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем число 24.

2. Если $a = 4$, то $b = 2 \cdot 4 = 8$. Получаем число 48.

Выполним проверку для обоих найденных чисел.

Для числа 24:

• Сумма цифр: $2 + 4 = 6$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 6 = 24$. Верно.
• Произведение цифр: $2 \cdot 4 = 8$. Проверяем второе условие: $8 + 16 = 24$. Верно.

Для числа 48:

• Сумма цифр: $4 + 8 = 12$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 12 = 48$. Верно.
• Произведение цифр: $4 \cdot 8 = 32$. Проверяем второе условие: $32 + 16 = 48$. Верно.

Оба числа, 24 и 48, полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 24, 48.

9. Один рабочий может выполнить задание на 4 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 3 ч могут выполнить $ \frac{5}{8} $ этого задания. За какое время каждый рабочий может выполнить задание?

Решение. ......................

Примем всю работу за 1.

Пусть время, за которое первый рабочий может выполнить все задание, равно $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

Поскольку первый рабочий выполняет задание на 4 часа быстрее, чем второй, то второму рабочему на выполнение всего задания потребуется $(x+4)$ часов. Его производительность составляет $\frac{1}{x+4}$.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность равна: $v_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

По условию, работая вместе, за 3 часа они выполняют $\frac{5}{8}$ всего задания. Объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время. Составим уравнение: $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot 3 = \frac{5}{8}$.

Решим это уравнение. Разделим обе части на 3: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{5}{8 \cdot 3} = \frac{5}{24}$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю: $\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{5}{24}$ $\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{5}{24}$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $24 \cdot (2x+4) = 5 \cdot (x^2+4x)$ $48x + 96 = 5x^2 + 20x$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0$ $5x^2 - 28x - 96 = 0$.

Найдем корни этого уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем значения $x$ по формуле корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$. $x_2 = \frac{28 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-24}{10} = -2.4$.

Так как $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -2.4$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, время, за которое первый рабочий выполняет задание, равно 8 часам.

Время второго рабочего: $x+4 = 8+4 = 12$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 8 часов, второй рабочий — за 12 часов.