Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

13. Найдите три первых десятичных приближения (с недостатком и избытком) каждого из чисел (в решении запишите двойные неравенства):

$\sqrt{2}$ ($\sqrt{2} \approx 1,4142...$; значит, $1,4 \le \sqrt{2} \le 1,5$; $1,41 \le \sqrt{2} \le 1,42$; $1,414 \le \sqrt{2} \le 1,415$);

a) $-\sqrt{2}$

б) $\frac{15}{13}$

в) $-\frac{7}{16}$

а)Для нахождения десятичных приближений числа $-\sqrt{2}$ воспользуемся данными из условия для числа $\sqrt{2}$. Известно, что $\sqrt{2} \approx 1,4142...$, и даны следующие двойные неравенства:
1. Первое приближение: $1,4 \le \sqrt{2} \le 1,5$
2. Второе приближение: $1,41 \le \sqrt{2} \le 1,42$
3. Третье приближение: $1,414 \le \sqrt{2} \le 1,415$
Чтобы получить неравенства для $-\sqrt{2}$, умножим все части каждого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
1. Из $1,4 \le \sqrt{2} \le 1,5$ получаем $-1,4 \ge -\sqrt{2} \ge -1,5$. Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему): $-1,5 \le -\sqrt{2} \le -1,4$.
2. Из $1,41 \le \sqrt{2} \le 1,42$ получаем $-1,41 \ge -\sqrt{2} \ge -1,42$. В стандартном виде: $-1,42 \le -\sqrt{2} \le -1,41$.
3. Из $1,414 \le \sqrt{2} \le 1,415$ получаем $-1,414 \ge -\sqrt{2} \ge -1,415$. В стандартном виде: $-1,415 \le -\sqrt{2} \le -1,414$.
Таким образом, мы нашли три первых десятичных приближения для числа $-\sqrt{2}$ с недостатком и с избытком.
Ответ: $-1,5 \le -\sqrt{2} \le -1,4$; $-1,42 \le -\sqrt{2} \le -1,41$; $-1,415 \le -\sqrt{2} \le -1,414$.

б)Чтобы найти десятичные приближения числа $\frac{15}{13}$, сначала переведем эту обыкновенную дробь в десятичную. Для этого выполним деление числителя на знаменатель столбиком:
$15 \div 13 \approx 1,1538...$
Теперь, зная десятичное представление числа, найдем его приближения с недостатком и с избытком.
1. Первое приближение (с точностью до десятых). Число $1,1538...$ находится между $1,1$ и $1,2$.
$1,1 \le \frac{15}{13} \le 1,2$
2. Второе приближение (с точностью до сотых). Число $1,1538...$ находится между $1,15$ и $1,16$.
$1,15 \le \frac{15}{13} \le 1,16$
3. Третье приближение (с точностью до тысячных). Число $1,1538...$ находится между $1,153$ и $1,154$.
$1,153 \le \frac{15}{13} \le 1,154$
Ответ: $1,1 \le \frac{15}{13} \le 1,2$; $1,15 \le \frac{15}{13} \le 1,16$; $1,153 \le \frac{15}{13} \le 1,154$.

в)Чтобы найти десятичные приближения числа $-\frac{7}{16}$, сначала переведем дробь $\frac{7}{16}$ в десятичную.
$7 \div 16 = 0,4375$.
Следовательно, нам нужно найти приближения для числа $-0,4375$.
1. Первое приближение (с точностью до десятых). Число $-0,4375$ находится между $-0,5$ и $-0,4$. Приближение с недостатком равно $-0,5$, а с избытком $-0,4$.
$-0,5 \le -\frac{7}{16} \le -0,4$
2. Второе приближение (с точностью до сотых). Число $-0,4375$ находится между $-0,44$ и $-0,43$. Приближение с недостатком равно $-0,44$, а с избытком $-0,43$.
$-0,44 \le -\frac{7}{16} \le -0,43$
3. Третье приближение (с точностью до тысячных). Число $-0,4375$ находится между $-0,438$ и $-0,437$. Приближение с недостатком равно $-0,438$, а с избытком $-0,437$.
$-0,438 \le -\frac{7}{16} \le -0,437$
Ответ: $-0,5 \le -\frac{7}{16} \le -0,4$; $-0,44 \le -\frac{7}{16} \le -0,43$; $-0,438 \le -\frac{7}{16} \le -0,437$.

14. Используя приближённые равенства $\sqrt{2} \approx 1,414...$, $\sqrt{3} \approx 1,732...$, $\sqrt{5} \approx 2,236...$ и $\sqrt{7} \approx 2,645....$, вычислите приближённое значение данного выражения с точностью: до одной десятой; до одной сотой.

До одной десятой

До одной сотой

а) $\sqrt{2} + \sqrt{7}$

б) $\frac{2}{3} - \sqrt{5}$

в) $\frac{4}{9} \cdot \sqrt{3}$

г) $\sqrt{2} - \frac{3}{4}$

а) Для вычисления приближенного значения выражения $ \sqrt{2} + \sqrt{7} $ воспользуемся данными значениями: $ \sqrt{2} \approx 1,414... $ и $ \sqrt{7} \approx 2,645... $.

До одной десятой:
Для вычислений с точностью до десятых, используем значения, округленные до сотых (на один знак больше требуемой точности): $ \sqrt{2} \approx 1,41 $ и $ \sqrt{7} \approx 2,65 $.
$ \sqrt{2} + \sqrt{7} \approx 1,41 + 2,65 = 4,06 $.
Округляем полученный результат до десятых: $ 4,06 \approx 4,1 $.
Ответ: $ 4,1 $

До одной сотой:
Для вычислений с точностью до сотых, используем значения, округленные до тысячных: $ \sqrt{2} \approx 1,414 $ и $ \sqrt{7} \approx 2,645 $.
$ \sqrt{2} + \sqrt{7} \approx 1,414 + 2,645 = 4,059 $.
Округляем полученный результат до сотых: $ 4,059 \approx 4,06 $.
Ответ: $ 4,06 $

б) Для вычисления приближенного значения выражения $ \frac{2}{3} - \sqrt{5} $ воспользуемся данными значениями: $ \frac{2}{3} \approx 0,666... $ и $ \sqrt{5} \approx 2,236... $.

До одной десятой:
Используем значения, округленные до сотых: $ \frac{2}{3} \approx 0,67 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,24 $.
$ \frac{2}{3} - \sqrt{5} \approx 0,67 - 2,24 = -1,57 $.
Округляем результат до десятых: $ -1,57 \approx -1,6 $.
Ответ: $ -1,6 $

До одной сотой:
Используем значения, округленные до тысячных: $ \frac{2}{3} \approx 0,667 $ и $ \sqrt{5} \approx 2,236 $.
$ \frac{2}{3} - \sqrt{5} \approx 0,667 - 2,236 = -1,569 $.
Округляем результат до сотых: $ -1,569 \approx -1,57 $.
Ответ: $ -1,57 $

в) Для вычисления приближенного значения выражения $ \frac{4}{9} \cdot \sqrt{3} $ воспользуемся данными значениями: $ \frac{4}{9} \approx 0,444... $ и $ \sqrt{3} \approx 1,732... $.

До одной десятой:
Используем значения, округленные до сотых: $ \frac{4}{9} \approx 0,44 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,73 $.
$ \frac{4}{9} \cdot \sqrt{3} \approx 0,44 \cdot 1,73 = 0,7612 $.
Округляем результат до десятых: $ 0,7612 \approx 0,8 $.
Ответ: $ 0,8 $

До одной сотой:
Используем значения, округленные до тысячных: $ \frac{4}{9} \approx 0,444 $ и $ \sqrt{3} \approx 1,732 $.
$ \frac{4}{9} \cdot \sqrt{3} \approx 0,444 \cdot 1,732 = 0,769008 $.
Округляем результат до сотых: $ 0,769008 \approx 0,77 $.
Ответ: $ 0,77 $

г) Для вычисления приближенного значения выражения $ \sqrt{2} - \frac{3}{4} $ воспользуемся данными значениями: $ \sqrt{2} \approx 1,414... $ и $ \frac{3}{4} = 0,75 $.

До одной десятой:
Используем значение $ \sqrt{2} $, округленное до сотых: $ \sqrt{2} \approx 1,41 $.
$ \sqrt{2} - \frac{3}{4} \approx 1,41 - 0,75 = 0,66 $.
Округляем результат до десятых: $ 0,66 \approx 0,7 $.
Ответ: $ 0,7 $

До одной сотой:
Используем значение $ \sqrt{2} $, округленное до тысячных: $ \sqrt{2} \approx 1,414 $.
$ \sqrt{2} - \frac{3}{4} \approx 1,414 - 0,75 = 0,664 $.
Округляем результат до сотых: $ 0,664 \approx 0,66 $.
Ответ: $ 0,66 $

4. Из данных неравенств выберите те, для которых пара чисел

$x=2; y=-0,5$ является решением:

а) $16x - 8y - 40 < 0$;

б) $x^2 + xy \ge 3$;

в) $(x-4)^2 - (6y+1)^2 \le 0$;

г) $2x + (4y - 7)^2 > 42$;

д) $-x^2 - 16y + 10 > 0$;

е) $\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{3}y^2 < \frac{1}{2}$.

Чтобы выбрать неравенства, для которых пара чисел $x=2$ и $y=-0,5$ является решением, необходимо подставить эти значения в каждое из предложенных неравенств и проверить, выполняется ли оно.

а) $16x - 8y - 40 < 0$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$16 \cdot 2 - 8 \cdot (-0,5) - 40 = 32 + 4 - 40 = -4$.

Получаем неравенство $-4 < 0$, которое является верным. Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

б) $x^2 + xy \geq 3$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$2^2 + 2 \cdot (-0,5) = 4 - 1 = 3$.

Получаем неравенство $3 \geq 3$, которое является верным (так как включает равенство). Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

в) $(x - 4)^2 - (6y + 1)^2 \leq 0$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$(2 - 4)^2 - (6 \cdot (-0,5) + 1)^2 = (-2)^2 - (-3 + 1)^2 = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$.

Получаем неравенство $0 \leq 0$, которое является верным (так как включает равенство). Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

г) $2x + (4y - 7)^2 > 42$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$2 \cdot 2 + (4 \cdot (-0,5) - 7)^2 = 4 + (-2 - 7)^2 = 4 + (-9)^2 = 4 + 81 = 85$.

Получаем неравенство $85 > 42$, которое является верным. Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

д) $-x^2 - 16y + 10 > 0$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$-(2^2) - 16 \cdot (-0,5) + 10 = -4 - (-8) + 10 = -4 + 8 + 10 = 14$.

Получаем неравенство $14 > 0$, которое является верным. Следовательно, данная пара чисел является решением.

Ответ: является решением.

е) $\frac{1}{6}x^2 - \frac{1}{3}y^2 < \frac{1}{2}$

Подставляем $x=2$ и $y=-0,5$ в левую часть неравенства:

$\frac{1}{6} \cdot 2^2 - \frac{1}{3} \cdot (-0,5)^2 = \frac{1}{6} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot 0,25 = \frac{4}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3} - \frac{1}{12}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 12: $\frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.

Получаем неравенство $\frac{7}{12} < \frac{1}{2}$. Чтобы сравнить, приведем правую часть к знаменателю 12: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$.

В итоге имеем $\frac{7}{12} < \frac{6}{12}$, что является неверным. Следовательно, данная пара чисел не является решением.

Ответ: не является решением.

Таким образом, пара чисел $x=2; y=-0,5$ является решением для неравенств под буквами а), б), в), г), д).

5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

a) $x \le 2$;

б) $y > -3$;

в) $-1 \le y < 1$;

г) $-2 < x \le 3$.

а) $x \le 2$

Данное неравенство определяет на координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) меньше или равна 2.

1. Чтобы изобразить это множество, сначала построим граничную прямую. Уравнение граничной прямой — $x = 2$. Это вертикальная прямая, которая проходит через точку (2, 0) на оси абсцисс и параллельна оси ординат $Oy$.

2. Знак неравенства "меньше или равно" ($ \le $) является нестрогим. Это означает, что точки, лежащие на самой прямой $x=2$, также являются решениями неравенства. Поэтому граничную прямую $x=2$ следует изобразить сплошной линией.

3. Неравенству $x \le 2$ удовлетворяют все точки, которые лежат на прямой $x=2$ или левее нее. Следовательно, искомое множество точек — это вся часть координатной плоскости, расположенная слева от прямой $x=2$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $x \le 2$, — это полуплоскость, расположенная слева от вертикальной прямой $x=2$, включая саму прямую.

б) $y > -3$

Данное неравенство определяет на координатной плоскости множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) строго больше -3.

1. Построим граничную прямую, задаваемую уравнением $y = -3$. Это горизонтальная прямая, которая проходит через точку (0, -3) на оси ординат и параллельна оси абсцисс $Ox$.

2. Знак неравенства "больше" ($ > $) является строгим. Это означает, что точки, лежащие на прямой $y=-3$, не являются решениями неравенства. Поэтому граничную прямую $y=-3$ следует изобразить пунктирной (штриховой) линией.

3. Неравенству $y > -3$ удовлетворяют все точки, которые лежат выше прямой $y=-3$. Искомым множеством является вся часть координатной плоскости, расположенная над этой прямой.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $y > -3$, — это открытая полуплоскость, расположенная выше горизонтальной прямой $y=-3$. Сама прямая в это множество не входит.

в) $-1 \le y < 1$

Данное двойное неравенство определяет множество точек, ордината $y$ которых удовлетворяет одновременно двум условиям: $y \ge -1$ и $y < 1$.

1. Построим две граничные прямые: $y = -1$ и $y = 1$. Обе прямые горизонтальны и параллельны оси $Ox$.

2. Прямая $y = -1$ соответствует нестрогому неравенству $y \ge -1$, поэтому ее изображаем сплошной линией (точки на этой прямой входят в решение).

3. Прямая $y = 1$ соответствует строгому неравенству $y < 1$, поэтому ее изображаем пунктирной линией (точки на этой прямой не входят в решение).

4. Решением является множество всех точек, которые расположены между этими двумя прямыми. Это горизонтальная полоса.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $-1 \le y < 1$, — это горизонтальная полоса, ограниченная снизу сплошной прямой $y=-1$ и сверху пунктирной прямой $y=1$.

г) $-2 < x \le 3$

Данное двойное неравенство определяет множество точек, абсцисса $x$ которых удовлетворяет одновременно двум условиям: $x > -2$ и $x \le 3$.

1. Построим две граничные прямые: $x = -2$ и $x = 3$. Обе прямые вертикальны и параллельны оси $Oy$.

2. Прямая $x = -2$ соответствует строгому неравенству $x > -2$, поэтому ее изображаем пунктирной линией (точки на этой прямой не входят в решение).

3. Прямая $x = 3$ соответствует нестрогому неравенству $x \le 3$, поэтому ее изображаем сплошной линией (точки на этой прямой входят в решение).

4. Решением является множество всех точек, которые расположены между этими двумя прямыми. Это вертикальная полоса.

Ответ: Множество точек, задаваемое неравенством $-2 < x \le 3$, — это вертикальная полоса, ограниченная слева пунктирной прямой $x=-2$ и справа сплошной прямой $x=3$.