Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

5. Дневная норма витамина С, необходимая человеку, составляет около 100 мг в сутки. Выясните, достаточно ли съесть один апельсин массой 150 г, чтобы обеспечить себя дневной нормой витамина С, если в 100 г апельсина содержится 50 мг витамина С. Какая часть дневной нормы витамина С содержится в таком апельсине?

Выясните, достаточно ли съесть один апельсин массой 150 г, чтобы обеспечить себя дневной нормой витамина С

Для ответа на этот вопрос сначала необходимо вычислить, сколько миллиграммов витамина С содержится в апельсине массой 150 г. Из условия задачи известно, что в 100 г апельсина содержится 50 мг витамина С.

Можно составить пропорцию, чтобы найти количество витамина С (обозначим его как $x$) в 150 г апельсина:
$100 \text{ г апельсина} \rightarrow 50 \text{ мг витамина С}$
$150 \text{ г апельсина} \rightarrow x \text{ мг витамина С}$

Решим пропорцию:
$x = \frac{150 \text{ г} \times 50 \text{ мг}}{100 \text{ г}} = \frac{7500}{100} = 75 \text{ мг}$

Таким образом, в апельсине массой 150 г содержится 75 мг витамина С. Дневная норма, указанная в задаче, составляет 100 мг. Сравним эти два значения:
$75 \text{ мг} < 100 \text{ мг}$

Так как количество витамина С в одном апельсине меньше дневной нормы, его недостаточно для полного обеспечения потребности организма.

Ответ: нет, одного апельсина массой 150 г недостаточно, чтобы обеспечить себя дневной нормой витамина С, поскольку он содержит только 75 мг, а норма составляет 100 мг.

Какая часть дневной нормы витамина С содержится в таком апельсине?

Чтобы определить, какую часть от дневной нормы составляет витамин С из апельсина, нужно найти отношение количества витамина в апельсине к дневной норме.

Часть нормы = $\frac{\text{Количество витамина С в апельсине}}{\text{Дневная норма витамина С}}$

Подставляем вычисленные и заданные значения:
$\frac{75 \text{ мг}}{100 \text{ мг}} = \frac{75}{100}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя (75) и знаменателя (100) равен 25.
$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$

Ответ: в таком апельсине содержится $\frac{3}{4}$ дневной нормы витамина С.

6. Стоимость проездного билета на месяц составляет 580 р., а стоимость билета на одну поездку — 20 р. Аня купила проездной и сделала за месяц 41 поездку. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на одну поездку?

Для того чтобы определить, на сколько больше денег Аня потратила бы, покупая разовые билеты, необходимо сначала вычислить общую стоимость 41 поездки по цене разового билета.

1. Найдем стоимость 41 поездки, если бы за каждую платили отдельно. Стоимость одной поездки составляет 20 рублей.

$41 \text{ поездка} \times 20 \text{ рублей/поездка} = 820 \text{ рублей}$

Таким образом, общая стоимость всех поездок по разовым билетам составила бы 820 рублей.

2. Теперь вычтем из этой суммы стоимость проездного билета, которую Аня фактически заплатила (580 рублей), чтобы найти разницу.

$820 \text{ рублей} - 580 \text{ рублей} = 240 \text{ рублей}$

Следовательно, Аня потратила бы на 240 рублей больше, если бы покупала билеты на каждую поездку отдельно.

Ответ: 240.

7. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3200 р. До установки счётчиков за воду платили 1200 р. ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 700 р. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Для решения этой задачи сначала найдем, какую сумму удается экономить каждый месяц после установки счетчиков.

1. Рассчитаем ежемесячную экономию. Плата за воду до установки счетчиков составляла 1200 рублей в месяц. Плата за воду после установки счетчиков стала 700 рублей в месяц. Ежемесячная экономия составляет: $1200 - 700 = 500$ рублей.

2. Теперь нужно определить, через сколько месяцев общая сумма экономии превысит затраты на установку. Затраты на установку составили 3200 рублей. Обозначим искомое количество месяцев через $n$.

Общая экономия за $n$ месяцев равна произведению ежемесячной экономии на количество месяцев: $500 \times n$. Нам нужно найти наименьшее целое $n$, при котором эта сумма будет больше 3200 рублей. Составим неравенство: $500 \times n > 3200$

3. Решим это неравенство относительно $n$: $n > \frac{3200}{500}$ $n > \frac{32}{5}$ $n > 6.4$

Поскольку количество месяцев может быть только целым числом, наименьшее целое число, которое больше 6.4, это 7. Таким образом, через 7 месяцев экономия от установки счетчиков превысит затраты на их установку.

Ответ: 7.

8. Одна таблетка лекарства весит $20 \text{ мг}$ и содержит $6\%$ активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает $1.2 \text{ мг}$ активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом $8 \text{ кг}$ в течение суток?

Для решения задачи необходимо выполнить три действия:
1. Найти массу активного вещества в одной таблетке.
2. Рассчитать суточную дозу активного вещества, необходимую ребёнку.
3. Рассчитать, сколько таблеток соответствует этой суточной дозе.

1. Найдём массу активного вещества в одной таблетке.
Одна таблетка весит 20 мг и содержит 6% активного вещества. Чтобы найти массу активного вещества, необходимо вычислить 6% от 20 мг.
$20 \text{ мг} \cdot \frac{6}{100} = 20 \cdot 0.06 = 1.2 \text{ мг}$
Таким образом, в одной таблетке содержится 1.2 мг активного вещества.

2. Рассчитаем суточную дозу активного вещества для ребёнка.
Возраст ребёнка — 4 месяца (что входит в категорию "до 6 месяцев"), вес — 8 кг. Врач прописывает 1.2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки.
Суточная доза для ребёнка рассчитывается умножением его веса на дозировку:
$8 \text{ кг} \times 1.2 \frac{\text{мг}}{\text{кг}} = 9.6 \text{ мг}$
Следовательно, ребёнку в сутки требуется 9.6 мг активного вещества.

3. Определим необходимое количество таблеток в сутки.
Чтобы найти, сколько таблеток нужно дать ребёнку, разделим суточную потребность в активном веществе на его содержание в одной таблетке.
$\frac{\text{Суточная доза}}{\text{Содержание в 1 таблетке}} = \frac{9.6 \text{ мг}}{1.2 \text{ мг}} = 8$
Значит, ребёнку в течение суток следует дать 8 таблеток.
Ответ: 8.

1. Является ли решением системы неравенств $ \begin{cases} x^2 + 3y \le 6, \\ 2x - 5y > 1 \end{cases} $ пара чисел:

а) (2; 0);

б) (1; -3);

в) (-1; 1);

г) (0; 2);

д) (3; -4)?

Ответ: а) .............. б) .............. в) .............. г) .............. д) ..............

Для того чтобы определить, является ли пара чисел решением системы неравенств, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба неравенства системы. Если оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства, то пара является решением системы.

Исходная система неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 3y \le 6 \\ 2x - 5y > 1 \end{cases} $$

а) (2; 0);

Подставляем $x=2$ и $y=0$ в систему: $$ \begin{cases} 2^2 + 3 \cdot 0 \le 6 \\ 2 \cdot 2 - 5 \cdot 0 > 1 \end{cases} $$ Проверяем истинность каждого неравенства: $$ \begin{cases} 4 + 0 \le 6 \\ 4 - 0 > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4 \le 6 \text{ (верно)} \\ 4 > 1 \text{ (верно)} \end{cases} $$ Оба неравенства верны, значит, пара чисел является решением системы.

Ответ: да.

б) (1; -3);

Подставляем $x=1$ и $y=-3$ в систему: $$ \begin{cases} 1^2 + 3 \cdot (-3) \le 6 \\ 2 \cdot 1 - 5 \cdot (-3) > 1 \end{cases} $$ Проверяем истинность каждого неравенства: $$ \begin{cases} 1 - 9 \le 6 \\ 2 + 15 > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -8 \le 6 \text{ (верно)} \\ 17 > 1 \text{ (верно)} \end{cases} $$ Оба неравенства верны, следовательно, пара чисел является решением системы.

Ответ: да.

в) (-1; 1);

Подставляем $x=-1$ и $y=1$ в систему: $$ \begin{cases} (-1)^2 + 3 \cdot 1 \le 6 \\ 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 > 1 \end{cases} $$ Проверяем истинность каждого неравенства: $$ \begin{cases} 1 + 3 \le 6 \\ -2 - 5 > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4 \le 6 \text{ (верно)} \\ -7 > 1 \text{ (неверно)} \end{cases} $$ Второе неравенство неверно, значит, пара чисел не является решением системы.

Ответ: нет.

г) (0; 2);

Подставляем $x=0$ и $y=2$ в систему: $$ \begin{cases} 0^2 + 3 \cdot 2 \le 6 \\ 2 \cdot 0 - 5 \cdot 2 > 1 \end{cases} $$ Проверяем истинность каждого неравенства: $$ \begin{cases} 0 + 6 \le 6 \\ 0 - 10 > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6 \le 6 \text{ (верно)} \\ -10 > 1 \text{ (неверно)} \end{cases} $$ Второе неравенство неверно, следовательно, пара чисел не является решением системы.

Ответ: нет.

д) (3; -4)?

Подставляем $x=3$ и $y=-4$ в систему: $$ \begin{cases} 3^2 + 3 \cdot (-4) \le 6 \\ 2 \cdot 3 - 5 \cdot (-4) > 1 \end{cases} $$ Проверяем истинность каждого неравенства: $$ \begin{cases} 9 - 12 \le 6 \\ 6 + 20 > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3 \le 6 \text{ (верно)} \\ 26 > 1 \text{ (верно)} \end{cases} $$ Оба неравенства верны, значит, пара чисел является решением системы.

Ответ: да.

2. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} x + 3 \geq 0, \\ y - 1 \leq 0; \end{cases}$

x

y

a)

y

1

0

1

x

б) $\begin{cases} x + y \leq 2, \\ y - x \leq 1. \end{cases}$

x

y

б)

y

1

0

1

x

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ y - 1 \le 0 \end{cases} $

1. Преобразуем каждое неравенство:

• Первое неравенство: $x + 3 \ge 0$ эквивалентно $x \ge -3$.
• Второе неравенство: $y - 1 \le 0$ эквивалентно $y \le 1$.

2. Изобразим на координатной плоскости граничные прямые для каждого неравенства.

• Границей для неравенства $x \ge -3$ является вертикальная прямая $x = -3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), прямая рисуется сплошной линией. Решением неравенства $x \ge -3$ являются все точки на этой прямой и справа от нее.
• Границей для неравенства $y \le 1$ является горизонтальная прямая $y = 1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая также рисуется сплошной линией. Решением неравенства $y \le 1$ являются все точки на этой прямой и ниже нее.

3. Множество решений системы неравенств — это пересечение областей, удовлетворяющих каждому из неравенств. В данном случае это область, которая находится одновременно справа от прямой $x = -3$ и ниже прямой $y = 1$, включая сами прямые.

Ответ: На координатной плоскости нужно построить вертикальную прямую $x = -3$ и горизонтальную прямую $y = 1$. Множеством решений системы является область, ограниченная этими прямыми, которая расположена правее или на прямой $x = -3$ и ниже или на прямой $y = 1$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x + y \le 2 \\ y - x \le 1 \end{cases} $

1. Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:

• Первое неравенство: $x + y \le 2$ эквивалентно $y \le -x + 2$.
• Второе неравенство: $y - x \le 1$ эквивалентно $y \le x + 1$.

2. Изобразим на координатной плоскости граничные прямые для каждого неравенства.

• Границей для неравенства $y \le -x + 2$ является прямая $y = -x + 2$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая рисуется сплошной линией. Решением неравенства являются все точки на этой прямой и ниже нее.
• Границей для неравенства $y \le x + 1$ является прямая $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямая также рисуется сплошной линией. Решением неравенства являются все точки на этой прямой и ниже нее.

3. Множество решений системы неравенств — это пересечение областей, удовлетворяющих каждому из неравенств. Это область, которая находится одновременно ниже прямой $y = -x + 2$ и ниже прямой $y = x + 1$, включая сами прямые. Эти прямые пересекаются в точке $(0.5, 1.5)$.

Ответ: На координатной плоскости нужно построить прямую $y = -x + 2$ (по точкам $(0, 2)$ и $(2, 0)$) и прямую $y = x + 1$ (по точкам $(0, 1)$ и $(-1, 0)$). Множеством решений системы является область, расположенная ниже обеих этих прямых, включая сами прямые.