Страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. Последовательность задана формулой $a_n = n^2 + 3n + 1$. Найдите указанные члены последовательности:

$a_9 = 9^2 + 3 \cdot 9 + 1 = 81 + 27 + 1 = 109.$

$a_{20} =$ ........................

$a_{50} =$ ........................

$a_{71} =$ ........................

Чтобы найти указанные члены последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 3n + 1$, необходимо подставить соответствующий номер члена (индекс $n$) в эту формулу.

a₂₀
Для нахождения двадцатого члена последовательности подставим $n = 20$ в формулу:
$a_{20} = 20^2 + 3 \cdot 20 + 1 = 400 + 60 + 1 = 461$.
Ответ: 461.

a₅₀
Для нахождения пятидесятого члена последовательности подставим $n = 50$ в формулу:
$a_{50} = 50^2 + 3 \cdot 50 + 1 = 2500 + 150 + 1 = 2651$.
Ответ: 2651.

a₇₁
Для нахождения семьдесят первого члена последовательности подставим $n = 71$ в формулу:
$a_{71} = 71^2 + 3 \cdot 71 + 1 = 5041 + 213 + 1 = 5255$.
Ответ: 5255.

5. Выпишите первые шесть членов последовательности ($a_n$), если:

а) $a_n = 5n-2:$

б) $a_n = \frac{6}{n}:

в) $a_n = n^2-1:$

а) Для того чтобы найти первые шесть членов последовательности, заданной формулой $a_n = 5n - 2$, необходимо последовательно подставить вместо $n$ натуральные числа от 1 до 6.

При $n = 1$: $a_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 5 - 2 = 3$
При $n = 2$: $a_2 = 5 \cdot 2 - 2 = 10 - 2 = 8$
При $n = 3$: $a_3 = 5 \cdot 3 - 2 = 15 - 2 = 13$
При $n = 4$: $a_4 = 5 \cdot 4 - 2 = 20 - 2 = 18$
При $n = 5$: $a_5 = 5 \cdot 5 - 2 = 25 - 2 = 23$
При $n = 6$: $a_6 = 5 \cdot 6 - 2 = 30 - 2 = 28$

Ответ: 3, 8, 13, 18, 23, 28.

б) Для последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{6}{n}$, найдем первые шесть членов, подставляя вместо $n$ натуральные числа от 1 до 6.

При $n = 1$: $a_1 = \frac{6}{1} = 6$
При $n = 2$: $a_2 = \frac{6}{2} = 3$
При $n = 3$: $a_3 = \frac{6}{3} = 2$
При $n = 4$: $a_4 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
При $n = 5$: $a_5 = \frac{6}{5}$
При $n = 6$: $a_6 = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: 6, 3, 2, $\frac{3}{2}$, $\frac{6}{5}$, 1.

в) Для последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 1$, найдем первые шесть членов, подставляя вместо $n$ натуральные числа от 1 до 6.

При $n = 1$: $a_1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
При $n = 2$: $a_2 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
При $n = 3$: $a_3 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
При $n = 4$: $a_4 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$
При $n = 5$: $a_5 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$
При $n = 6$: $a_6 = 6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$

Ответ: 0, 3, 8, 15, 24, 35.

6. Встретится ли среди членов последовательности $(b_n)$, заданной формулой $b_n = 6n - 28$, число: а) 14; б) -28; в) 104? При положительном ответе укажите номер члена последовательности.

Ответ: а) ......................... б) ......................... в) .........................

Чтобы определить, является ли заданное число членом последовательности, заданной формулой $b_n = 6n - 28$, нужно подставить это число вместо $b_n$ и решить получившееся уравнение относительно $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (т.е. целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его номер.

а) Проверим, является ли число 14 членом последовательности.

Приравняем $b_n$ к 14:

$6n - 28 = 14$

Перенесем -28 в правую часть уравнения, изменив знак:

$6n = 14 + 28$

$6n = 42$

Разделим обе части уравнения на 6:

$n = \frac{42}{6}$

$n = 7$

Поскольку $n = 7$ является натуральным числом, то число 14 является 7-м членом данной последовательности.

Ответ: да, встретится, номер члена 7.

б) Проверим, является ли число -28 членом последовательности.

Приравняем $b_n$ к -28:

$6n - 28 = -28$

Перенесем -28 в правую часть уравнения:

$6n = -28 + 28$

$6n = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$n = \frac{0}{6}$

$n = 0$

Порядковый номер члена последовательности должен быть натуральным числом, т.е. $n \ge 1$. Так как мы получили $n=0$, число -28 не является членом данной последовательности.

Ответ: нет, не встретится.

в) Проверим, является ли число 104 членом последовательности.

Приравняем $b_n$ к 104:

$6n - 28 = 104$

Перенесем -28 в правую часть уравнения:

$6n = 104 + 28$

$6n = 132$

Разделим обе части уравнения на 6:

$n = \frac{132}{6}$

$n = 22$

Поскольку $n = 22$ является натуральным числом, то число 104 является 22-м членом данной последовательности.

Ответ: да, встретится, номер члена 22.

7. Последовательность $(b_n)$ задана формулой:

а) $b_n = 2n-7;$

б) $b_n = n^2-6n.$

Укажите номера отрицательных членов последовательности и вычислите эти члены.

а)

Для нахождения номеров отрицательных членов последовательности, заданной формулой $b_n = 2n - 7$, необходимо решить неравенство $b_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$2n - 7 < 0$

$2n < 7$

$n < \frac{7}{2}$

$n < 3.5$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), то есть $n=1, 2, 3, \dots$, то данному условию удовлетворяют значения $n=1, n=2$ и $n=3$.

Теперь вычислим значения этих членов последовательности:

При $n=1$: $b_1 = 2 \cdot 1 - 7 = 2 - 7 = -5$.

При $n=2$: $b_2 = 2 \cdot 2 - 7 = 4 - 7 = -3$.

При $n=3$: $b_3 = 2 \cdot 3 - 7 = 6 - 7 = -1$.

Ответ: номера отрицательных членов: 1, 2, 3; значения этих членов: $b_1 = -5$, $b_2 = -3$, $b_3 = -1$.

б)

Для нахождения номеров отрицательных членов последовательности, заданной формулой $b_n = n^2 - 6n$, необходимо решить неравенство $b_n < 0$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:

$n^2 - 6n < 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 6) < 0$

Так как $n$ — номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом, а значит $n > 0$.

Чтобы произведение $n(n - 6)$ было отрицательным, при положительном $n$ второй множитель $(n-6)$ должен быть отрицательным.

$n - 6 < 0$

$n < 6$

Таким образом, номера $n$ должны быть натуральными числами, удовлетворяющими условию $n < 6$. Это числа $n=1, n=2, n=3, n=4, n=5$.

Теперь вычислим значения этих членов последовательности:

При $n=1$: $b_1 = 1^2 - 6 \cdot 1 = 1 - 6 = -5$.

При $n=2$: $b_2 = 2^2 - 6 \cdot 2 = 4 - 12 = -8$.

При $n=3$: $b_3 = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

При $n=4$: $b_4 = 4^2 - 6 \cdot 4 = 16 - 24 = -8$.

При $n=5$: $b_5 = 5^2 - 6 \cdot 5 = 25 - 30 = -5$.

Ответ: номера отрицательных членов: 1, 2, 3, 4, 5; значения этих членов: $b_1 = -5$, $b_2 = -8$, $b_3 = -9$, $b_4 = -8$, $b_5 = -5$.