Страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

14. Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

На рисунке изображён план однокомнатной квартиры в 17-этажном жилом доме (сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м). Оба окна квартиры выходят на восток. При входе в квартиру располагается прихожая. Слева от входа в квартиру находится кладовая, а справа — санузел, отмеченный на плане цифрой 1. Пол санузла выложен плиткой размером 25 × 25 см. Кухня и комната расположены в глубине квартиры. Кухня имеет прямоугольную форму и имеет смежную стену с санузлом. Комната имеет наибольшую площадь из всех помещений. Балкон и лоджия отсутствуют.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане.

2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол санузла?

Ответ:

3. Найдите площадь, которую занимает комната. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ:

4. Найдите расстояние между противоположными углами кладовой (длину диагонали) в метрах.

Ответ:

5. В квартире планируется установить Интернет. Предполагается, что трафик составит 750 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает два тарифных плана.

Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик будет равен 750 Мб?

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане.

Проанализируем описание квартиры и сопоставим его с планом. Сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м.
1) Вход в квартиру отмечен стрелкой. Попадаем мы в прихожую. Это центральное помещение, из которого есть доступ в другие комнаты. На плане это соответствует объекту под номером 3.
2) В тексте сказано: "Слева от входа в квартиру находится кладовая, а справа — санузел, отмеченный на плане цифрой 1". Если стоять у входа внутри квартиры, то слева будет помещение 5 (это кладовая), а справа – помещение 1 (это санузел).
3) Далее: "Кухня и комната расположены в глубине квартиры. Кухня имеет прямоугольную форму и имеет смежную стену с санузлом". Санузел – это помещение 1. С ним имеет общую стену прямоугольное помещение 2. Следовательно, 2 – это кухня.
4) Оставшееся помещение – 4. Проверим его по описанию: "Комната имеет наибольшую площадь из всех помещений". Посчитаем площади в клетках: санузел (1) – $2 \times 4 = 8$ клеток; кухня (2) – $6 \times 8 = 48$ клеток; прихожая (3) – 26 клеток; комната (4) – $(6 \times 8) + (4 \times 4) = 64$ клетки; кладовая (5) – $4 \times 3 = 12$ клеток. Площадь помещения 4 действительно наибольшая, значит, 4 – это комната.
В итоге получаем соответствие: Комната – 4, Прихожая – 3, Кухня – 2, Кладовая – 5.

Ответ: 4325.

2. Плитка для пола продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол санузла?

1. Санузел на плане обозначен цифрой 1. Его размеры 2 клетки в ширину и 4 клетки в длину. Так как сторона клетки 0,5 м, размеры санузла: $2 \times 0,5 = 1$ м и $4 \times 0,5 = 2$ м.
2. Площадь санузла составляет $S_{санузла} = 1 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}^2$.
3. Размер одной плитки 25 см × 25 см, или 0,25 м × 0,25 м. Площадь одной плитки: $S_{плитки} = 0,25 \text{ м} \times 0,25 \text{ м} = 0,0625 \text{ м}^2$.
4. Необходимое количество плиток: $N_{плиток} = \frac{S_{санузла}}{S_{плитки}} = \frac{2}{0,0625} = 32$ штуки.
5. Плитка продается в упаковках по 6 штук. Количество упаковок: $\frac{32}{6} \approx 5,33$. Поскольку упаковки продаются целиком, необходимое количество нужно округлить вверх до ближайшего целого. Потребуется 6 упаковок.

Ответ: 6.

3. Найдите площадь, которую занимает комната. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. Комната на плане обозначена цифрой 4.
2. Помещение имеет L-образную форму. Его площадь в клетках можно посчитать как сумму площадей двух прямоугольников: $S_{клеток} = (6 \times 8) + (4 \times 4) = 48 + 16 = 64$ клетки.
3. Площадь одной клетки: $S_{клетки} = 0,5 \text{ м} \times 0,5 \text{ м} = 0,25 \text{ м}^2$.
4. Общая площадь комнаты в квадратных метрах: $S_{комнаты} = 64 \times 0,25 \text{ м}^2 = 16 \text{ м}^2$.

Ответ: 16.

4. Найдите расстояние между противоположными углами кладовой (длину диагонали) в метрах.

1. Кладовая на плане обозначена цифрой 5.
2. Размеры кладовой – 3 клетки на 4 клетки. В метрах это: $a = 3 \times 0,5 \text{ м} = 1,5 \text{ м}$ и $b = 4 \times 0,5 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
3. Длину диагонали $d$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.
4. Подставим значения: $d = \sqrt{(1,5)^2 + 2^2} = \sqrt{2,25 + 4} = \sqrt{6,25} = 2,5$ м.

Ответ: 2,5.

5. В квартире планируется установить Интернет. Предполагается, что трафик составит 750 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешевый вариант. Интернет-провайдер предлагает два тарифных плана. Сколько рублей должен будет заплатить пользователь за месяц, если его трафик будет равен 750 Мб?

Рассчитаем стоимость для трафика 750 Мб по каждому тарифу, чтобы выбрать самый дешевый.
Тариф «План «700»»:
В абонентскую плату 600 руб. включено 700 Мб. Трафик сверх пакета составляет $750 - 700 = 50$ Мб. Стоимость этого трафика: $50 \times 2 = 100$ руб. Общая стоимость за месяц: $600 + 100 = 700$ руб.
Тариф «План «1000»»:
Абонентская плата составляет 820 руб. за 1000 Мб. Поскольку трафик 750 Мб не превышает лимит, дополнительной платы нет. Стоимость за месяц составит 820 руб.
Сравнивая два варианта (700 руб. и 820 руб.), выбираем наиболее дешевый.

Ответ: 700.

9. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 - 6x + y^2 - 4y \le 3, \\ (x - 3)^2 + y \le 4. \end{cases}$

...

...

...

...

x

y

Чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо проанализировать каждое неравенство, определить геометрическое место точек, которое оно задает, а затем найти пересечение этих множеств на координатной плоскости.

1. Анализ первого неравенства: $x^2 - 6x + y^2 - 4y \le 3$

Данное неравенство представляет собой круг. Для определения его центра и радиуса преобразуем неравенство, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$ (x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) \le 3 $

Дополняем до полных квадратов:

$ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 \le 3 $

$ (x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 \le 3 $

Переносим константы в правую часть:

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 3 + 9 + 4 $

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 16 $

Или в виде $ (x - a)^2 + (y - b)^2 \le R^2 $:

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 4^2 $

Это неравенство описывает все точки, находящиеся внутри и на границе окружности с центром в точке $C(3, 2)$ и радиусом $R = 4$.

2. Анализ второго неравенства: $(x-3)^2 + y \le 4$

Преобразуем данное неравенство, выразив переменную $y$:

$ y \le 4 - (x-3)^2 $

$ y \le -(x-3)^2 + 4 $

Это неравенство задает область, ограниченную сверху параболой. Уравнение $y = -(x-3)^2 + 4$ соответствует параболе, вершина которой находится в точке $V(3, 4)$, а ветви направлены вниз (коэффициент при $(x-3)^2$ отрицателен). Неравенство со знаком $\le$ означает, что решением является множество всех точек, расположенных на самой параболе и ниже нее.

3. Построение множества решений системы

Решением системы неравенств является пересечение (общая часть) областей, найденных для каждого неравенства. На координатной плоскости это будет область, точки которой удовлетворяют обоим условиям одновременно: они должны находиться внутри или на границе окружности и в то же время ниже или на границе параболы.

Искомое множество точек заштриховано на графике ниже. Оно ограничено сверху дугой параболы, а снизу — дугой окружности. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$), границы области (сами дуги) включаются в решение.

Ответ:

Множество решений системы неравенств — это заштрихованная на рисунке фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -(x-3)^2 + 4$, а снизу — дугой окружности $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 16$.

10. Укажите какую-либо пару значений $k$ и $b$, при которых система неравенств

$\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le kx + b \end{cases}$

задаёт на координатной плоскости: а) угол; б) полосу.

Запишите получившиеся ситемы неравенств.

Ответ: а)

$\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le \ldots x + \ldots \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le \ldots x + \ldots \end{cases}$

Исходная система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le kx + b \end{cases} $$ Геометрически решение этой системы представляет собой пересечение двух полуплоскостей: области, расположенной не ниже прямой $y = 3x + 8$, и области, расположенной не выше прямой $y = kx + b$.

а) Чтобы система задавала на координатной плоскости угол, ее граничные прямые $y = 3x + 8$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Таким образом, для получения угла необходимо выполнение условия $k \ne 3$. Параметр $b$ может принимать любое действительное значение.

В качестве примера выберем любую пару значений, удовлетворяющую условию $k \ne 3$. Пусть $k = 1$ и $b = 0$. При этих значениях система неравенств будет задавать угол, ограниченный пересекающимися прямыми $y = 3x + 8$ и $y = x$.

Ответ: например, $k = 1$, $b = 0$. Получившаяся система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le x \end{cases} $$

б) Чтобы система задавала на координатной плоскости полосу, ее граничные прямые $y = 3x + 8$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны, но не совпадать. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, должно выполняться условие $k = 3$.

При $k = 3$ система принимает вид $3x + 8 \le y \le 3x + b$. Чтобы это двойное неравенство задавало полосу, а не пустое множество или прямую, необходимо, чтобы верхняя граница была строго выше нижней. То есть, для любого $x$ должно выполняться $3x + b > 3x + 8$. Это неравенство равносильно условию $b > 8$.

Выберем любое значение $b$, удовлетворяющее этому условию, например, $b = 10$. При $k=3$ и $b=10$ система задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y=3x+8$ и $y=3x+10$.

Ответ: например, $k = 3$, $b = 10$. Получившаяся система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le 3x + 10 \end{cases} $$