Страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

10. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, изменяется по закону $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$, где $l_0 = 80$ м — длина покоящейся ракеты, $c = 3 \cdot 10^5$ км/с — скорость света, а $v$ — скорость ракеты (в км/с). Найдите скорость ракеты, если её наблюдаемая длина равна 64 м. Ответ дайте в км/с.

Для нахождения скорости ракеты $v$ воспользуемся формулой из условия задачи, которая описывает лоренцево сокращение длины: $l = l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

В данной формуле известны следующие величины:

• $l = 64$ м — наблюдаемая длина движущейся ракеты.
• $l_0 = 80$ м — длина покоящейся ракеты (собственная длина).
• $c = 3 \cdot 10^5$ км/с — скорость света.

Необходимо найти скорость ракеты $v$. Для этого подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $v$.

$64 = 80\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сначала выразим корень, разделив обе части уравнения на $80$: $\frac{64}{80} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Сократим дробь в левой части: $\frac{64}{80} = \frac{4 \cdot 16}{5 \cdot 16} = \frac{4}{5} = 0.8$

Уравнение принимает вид: $0.8 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $(0.8)^2 = \left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2$ $0.64 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Теперь выразим из уравнения член $\frac{v^2}{c^2}$: $\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.64$ $\frac{v^2}{c^2} = 0.36$

Далее выразим $v^2$: $v^2 = 0.36 \cdot c^2$

Чтобы найти скорость $v$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как скорость — величина неотрицательная, рассматриваем только арифметический корень: $v = \sqrt{0.36 \cdot c^2} = \sqrt{0.36} \cdot \sqrt{c^2} = 0.6 \cdot c$

Теперь, зная, что $c = 3 \cdot 10^5$ км/с, вычислим значение $v$: $v = 0.6 \cdot (3 \cdot 10^5 \text{ км/с}) = 1.8 \cdot 10^5 \text{ км/с}$

Это значение равно $180000$ км/с.

Ответ: $180000$ км/с.

11. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому P — мощность излучения звезды (в ваттах), вычисляется по формуле $P = \sigma ST^4$, где $\sigma = 5.7 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$ — постоянная, S — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{2401} \cdot 10^{22} \text{ м}^2$, а мощность её излучения равна $5.7 \cdot 10^{26} \text{ Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Для нахождения температуры звезды воспользуемся законом Стефана–Больцмана: $P = \sigma S T^4$.
В задаче даны следующие значения:
Мощность излучения звезды $P = 5,7 \cdot 10^{26}$ Вт.
Постоянная Стефана–Больцмана $\sigma = 5,7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴).
Площадь поверхности звезды $S = \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}$ м².

Наша цель — найти температуру $T$. Для этого выразим $T$ из формулы. Сначала выразим $T^4$:
$T^4 = \frac{P}{\sigma S}$

Теперь, чтобы найти $T$, извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:
$T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:
$T = \sqrt[4]{\frac{5,7 \cdot 10^{26}}{5,7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}}$

Упростим выражение под корнем. Сократим $5,7$ в числителе и знаменателе:
$T = \sqrt[4]{\frac{10^{26}}{10^{-8} \cdot \frac{1}{2401} \cdot 10^{22}}}$

Выполним умножение в знаменателе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $10^{-8} \cdot 10^{22} = 10^{-8+22} = 10^{14}$.
$T = \sqrt[4]{\frac{10^{26}}{\frac{1}{2401} \cdot 10^{14}}}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь $\frac{1}{2401}$ равносильно умножению на $2401$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{10^{26}}{10^{14}} = 10^{26-14} = 10^{12}$.
$T = \sqrt[4]{2401 \cdot 10^{12}}$

Для вычисления корня воспользуемся свойством $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$T = \sqrt[4]{2401} \cdot \sqrt[4]{10^{12}}$

Найдем значения корней по отдельности.
Заметим, что $7^4 = (7^2)^2 = 49^2 = 2401$. Следовательно, $\sqrt[4]{2401} = 7$.
По свойству корня из степени, $\sqrt[4]{10^{12}} = 10^{\frac{12}{4}} = 10^3$.

Перемножим полученные результаты:
$T = 7 \cdot 10^3 = 7000$

Температура звезды составляет 7000 кельвинов.

Ответ: 7000.

12. Изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых:

а) абсцисса меньше удвоенной ординаты;

$x < 2y$

б) ордината больше утроенной абсциссы.

$y > 3x$

Условие «абсцисса меньше удвоенной ординаты» можно записать в виде неравенства $x < 2y$, где $x$ — абсцисса точки, а $y$ — её ордината. Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $y$: $2y > x$, что эквивалентно $y > \frac{1}{2}x$.

Множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собой полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, заданная уравнением $y = \frac{1}{2}x$.

Чтобы построить эту прямую, найдем координаты двух любых её точек. Для удобства заполним таблицу:

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(2; 1)$ и проведем через них прямую. Так как исходное неравенство строгое ($>$), точки на самой прямой не являются частью решения. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

Прямая $y = \frac{1}{2}x$ делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную (пробную) точку, не лежащую на прямой. Например, точку с координатами $(0; 1)$. Подставим её координаты в неравенство $y > \frac{1}{2}x$:

$1 > \frac{1}{2} \cdot 0 \implies 1 > 0$

Полученное неравенство верно. Это означает, что все точки, лежащие в той же полуплоскости, что и точка $(0; 1)$, удовлетворяют заданному условию. Эта полуплоскость находится выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Заштрихуем эту область.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, лежащая выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Граница (прямая $y = \frac{1}{2}x$) изображается пунктиром и не входит в множество.

Условие «ордината больше утроенной абсциссы» можно записать в виде неравенства $y > 3x$.

Границей для этого множества является прямая, заданная уравнением $y = 3x$. Для построения этой прямой также найдем координаты двух её точек.

Заполним таблицу:

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(1; 3)$ и проведем через них прямую. Поскольку неравенство строгое ($>$), прямую следует изобразить пунктирной линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, точку $(-1; 1)$. Подставим её координаты в неравенство $y > 3x$:

$1 > 3 \cdot (-1) \implies 1 > -3$

Полученное неравенство верно. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, в которой лежит точка $(-1; 1)$. Эта область находится выше прямой $y = 3x$. Заштрихуем её.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, лежащая выше прямой $y = 3x$. Граница (прямая $y = 3x$) изображается пунктиром и не входит в множество.

13. Задайте неравенством множество точек, лежащих выше параболы, проходящей через точки $A(-2; 3)$, $B(5; -4)$ и $C(0; -9)$.

Для того чтобы задать неравенством множество точек, лежащих выше параболы, сначала необходимо найти уравнение этой параболы. Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$.

Поскольку парабола проходит через точки A(-2; 3), B(5; -4) и C(0; -9), их координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим координаты этих точек в общее уравнение, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Используем координаты точки C(0; -9):
$-9 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = -9$.

Теперь уравнение принимает вид $y = ax^2 + bx - 9$. Подставим координаты оставшихся двух точек:
Для точки A(-2; 3):
$3 = a(-2)^2 + b(-2) - 9$
$3 = 4a - 2b - 9$
$12 = 4a - 2b$
$6 = 2a - b$ (1)

Для точки B(5; -4):
$-4 = a(5)^2 + b(5) - 9$
$-4 = 25a + 5b - 9$
$5 = 25a + 5b$
$1 = 5a + b$ (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 2a - b = 6 \\ 5a + b = 1 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(2a - b) + (5a + b) = 6 + 1$
$7a = 7 \implies a = 1$.
Подставим $a = 1$ в уравнение (2):
$5(1) + b = 1 \implies 5 + b = 1 \implies b = -4$.

Таким образом, мы нашли все коэффициенты: $a = 1$, $b = -4$, $c = -9$. Уравнение параболы: $y = x^2 - 4x - 9$.

Множество точек, лежащих выше параболы, определяется неравенством, в котором для каждого $x$ значение $y$ должно быть больше, чем значение, вычисленное по уравнению параболы. Следовательно, искомое неравенство имеет вид $y > x^2 - 4x - 9$.

Ответ: $y > x^2 - 4x - 9$