Номер 12, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых:

а) абсцисса меньше удвоенной ординаты;

$x < 2y$

б) ордината больше утроенной абсциссы.

$y > 3x$

Условие «абсцисса меньше удвоенной ординаты» можно записать в виде неравенства $x < 2y$, где $x$ — абсцисса точки, а $y$ — её ордината. Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $y$: $2y > x$, что эквивалентно $y > \frac{1}{2}x$.

Множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собой полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, заданная уравнением $y = \frac{1}{2}x$.

Чтобы построить эту прямую, найдем координаты двух любых её точек. Для удобства заполним таблицу:

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(2; 1)$ и проведем через них прямую. Так как исходное неравенство строгое ($>$), точки на самой прямой не являются частью решения. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

Прямая $y = \frac{1}{2}x$ делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем произвольную (пробную) точку, не лежащую на прямой. Например, точку с координатами $(0; 1)$. Подставим её координаты в неравенство $y > \frac{1}{2}x$:

$1 > \frac{1}{2} \cdot 0 \implies 1 > 0$

Полученное неравенство верно. Это означает, что все точки, лежащие в той же полуплоскости, что и точка $(0; 1)$, удовлетворяют заданному условию. Эта полуплоскость находится выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Заштрихуем эту область.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, лежащая выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Граница (прямая $y = \frac{1}{2}x$) изображается пунктиром и не входит в множество.

Условие «ордината больше утроенной абсциссы» можно записать в виде неравенства $y > 3x$.

Границей для этого множества является прямая, заданная уравнением $y = 3x$. Для построения этой прямой также найдем координаты двух её точек.

Заполним таблицу:

Отметим на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(1; 3)$ и проведем через них прямую. Поскольку неравенство строгое ($>$), прямую следует изобразить пунктирной линией.

Чтобы определить нужную полуплоскость, выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, точку $(-1; 1)$. Подставим её координаты в неравенство $y > 3x$:

$1 > 3 \cdot (-1) \implies 1 > -3$

Полученное неравенство верно. Следовательно, искомое множество точек — это полуплоскость, в которой лежит точка $(-1; 1)$. Эта область находится выше прямой $y = 3x$. Заштрихуем её.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, лежащая выше прямой $y = 3x$. Граница (прямая $y = 3x$) изображается пунктиром и не входит в множество.