Номер 11, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Задайте неравенством открытую полуплоскость, которая расположена ниже прямой $AB$, проходящей через точки $A(2; 0)$ и $B(-1; 3)$.

Ответ:

Для того чтобы задать неравенством открытую полуплоскость, сначала необходимо найти уравнение прямой AB, которая является границей этой полуплоскости.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), имеет вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A(2; 0) и B(-1; 3) в эту формулу. Пусть $x_1 = 2$, $y_1 = 0$, $x_2 = -1$, $y_2 = 3$.

$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 0}{3 - 0}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$-(x - 2) = y$

$-x + 2 = y$

Таким образом, уравнение прямой AB в виде функции имеет вид $y = -x + 2$. В общем виде уравнение прямой записывается как $Ax + By + C = 0$. Перенесем все члены в левую часть:

$x + y - 2 = 0$

Теперь нужно определить неравенство для полуплоскости, расположенной ниже этой прямой. Положение "ниже" прямой, заданной в виде $y = f(x)$, означает, что для любого значения $x$ ординаты $y$ точек полуплоскости должны быть меньше ординат точек на самой прямой.

Следовательно, искомое неравенство будет иметь вид $y < -x + 2$. Так как в условии требуется задать открытую полуплоскость, используется строгий знак неравенства (<).

Преобразуем это неравенство к общему виду:

$y < -x + 2$

$x + y - 2 < 0$

Для проверки можно взять любую точку, заведомо лежащую ниже прямой. Например, начало координат, точку O(0; 0). Подставим ее координаты в полученное неравенство:

$0 + 0 - 2 < 0$

$-2 < 0$

Неравенство верное, значит, полуплоскость определена правильно.

Ответ: $x + y - 2 < 0$