Номер 5, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

a) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ y \ge x - 1; \end{cases} $

a)

y^

1–

0 1

x^

б) $ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \le 1. \end{cases} $

б)

y^

1–

0 1

x^

a)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ y \ge x - 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек на координатной плоскости, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Второе неравенство $y \ge x - 1$ задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = x - 1$, включая саму прямую. Для построения этой прямой найдем две точки, принадлежащие ей. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

Чтобы определить, какая из полуплоскостей является решением, возьмем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим ее в неравенство: $0 \ge 0 - 1$, что является верным утверждением ($0 \ge -1$). Следовательно, нам нужна полуплоскость, содержащая начало координат.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиусом 3 с центром в (0,0), которая лежит выше и на прямой $y = x - 1$.

Графически это выглядит следующим образом (искомое множество закрашено):

Ответ: Множество решений представляет собой сегмент круга, ограниченный сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 9$ и снизу хордой, лежащей на прямой $y = x - 1$. Границы, то есть дуга и хорда, включаются в множество решений.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4, \\ x^2 + y^2 \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в точке $C_1(1, 2)$ и радиусом $R_1 = \sqrt{4} = 2$.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает множество точек, находящихся вне и на границе окружности с центром в начале координат $C_2(0, 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{1} = 1$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это точки, которые одновременно принадлежат первому кругу (с центром в (1,2) и радиусом 2) и находятся вне или на границе второго круга (с центром в (0,0) и радиусом 1). Геометрически это первый круг, из которого "вырезана" область, принадлежащая второму кругу.

Графически это выглядит следующим образом (искомое множество закрашено):

Ответ: Множество решений представляет собой фигуру, полученную из круга с центром в (1, 2) и радиусом 2, из которой удалены все внутренние точки круга с центром в (0, 0) и радиусом 1. Границы обеих окружностей включаются в множество решений.