Номер 8, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Одна из сторон острого угла проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-3; 3)$, другая — через точки $C(2; 4)$ и $D(-1; 2)$. Постройте эти прямые. Задайте образовавшийся острый угол между ними системой неравенств.

Задача состоит из двух частей: построение двух прямых по заданным точкам и определение острого угла между ними с помощью системы неравенств.

Сначала найдем уравнения для каждой из двух прямых.

1. Первая прямая проходит через точки A(3; 0) и B(–3; 3).Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A и B:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 3}{-3 - 3}$

$\frac{y}{3} = \frac{x - 3}{-6}$

$-6y = 3(x - 3)$

$-2y = x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $L_1$:

$x + 2y - 3 = 0$

2. Вторая прямая проходит через точки C(2; 4) и D(–1; 2).Подставим координаты этих точек в ту же формулу:

$\frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - (-1)}{2 - (-1)}$

$\frac{y - 2}{2} = \frac{x + 1}{3}$

$3(y - 2) = 2(x + 1)$

$3y - 6 = 2x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $L_2$:

$2x - 3y + 8 = 0$

Теперь построим эти прямые на координатной плоскости, отметив заданные точки.

Ответ: Уравнение первой прямой (синяя): $x + 2y - 3 = 0$. Уравнение второй прямой (красная): $2x - 3y + 8 = 0$. Графики прямых построены на рисунке выше.

Две пересекающиеся прямые делят плоскость на четыре угла (две пары вертикальных углов). Одна пара углов — острые, другая — тупые (если прямые не перпендикулярны). Нам нужно задать один из острых углов системой неравенств.

Уравнения прямых в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$L_1: x + 2y - 3 = 0$

$L_2: 2x - 3y + 8 = 0$

Для определения типа угла (острый или тупой) можно использовать скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$.

Для наших прямых нормальные векторы:

$\vec{n_1} = (1, 2)$

$\vec{n_2} = (2, -3)$

Найдем их скалярное произведение:

$A_1A_2 + B_1B_2 = (1)(2) + (2)(-3) = 2 - 6 = -4$

Поскольку скалярное произведение отрицательно ($A_1A_2 + B_1B_2 < 0$), угол между векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ является тупым. Это означает, что области, где выражения $x + 2y - 3$ и $2x - 3y + 8$ имеют противоположные знаки, соответствуют острым углам между прямыми.

Таким образом, острые углы задаются совокупностью двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} x + 2y - 3 \ge 0 \\ 2x - 3y + 8 \le 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 2y - 3 \le 0 \\ 2x - 3y + 8 \ge 0 \end{cases}$

Любая из этих двух систем описывает один из двух острых углов. Выберем, например, вторую систему. Она описывает тот угол, в котором лежит начало координат (0,0), так как $0+2(0)-3 = -3 \le 0$ и $2(0)-3(0)+8 = 8 \ge 0$.

Ответ: Острый угол, образованный данными прямыми, может быть задан следующей системой неравенств (включая сами стороны угла):

$$ \begin{cases} x + 2y - 3 \le 0 \\ 2x - 3y + 8 \ge 0 \end{cases} $$

(В качестве ответа также может быть принята и другая система: $\begin{cases} x + 2y - 3 \ge 0 \\ 2x - 3y + 8 \le 0 \end{cases}$)