Номер 12, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Задайте системой неравенств меньшую часть круга с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом $4$, которую отсекает от него прямая, проходящая через точки $A(-4; 0)$ и $B(3; 4)$.

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 16$$ $$4x - 7y + 16 \leq 0$$

7. Последовательность $(b_n)$ задана формулой

Укажите номера отрицательных част...

Для того чтобы задать меньшую часть круга системой неравенств, необходимо составить два неравенства: одно для самого круга, а второе — для полуплоскости, отсекаемой прямой.

1. Составление неравенства для круга.

Общее неравенство, описывающее все точки внутри и на границе круга с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$, имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

По условию, центр круга находится в точке $C(-2; 1)$, а его радиус $R = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 \le 4^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16$

Это первое неравенство искомой системы.

2. Составление неравенства для прямой.

Сначала найдем уравнение прямой, которая проходит через точки $A(-4; 0)$ и $B(3; 4)$. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и B:

$\frac{x - (-4)}{3 - (-4)} = \frac{y - 0}{4 - 0}$

$\frac{x + 4}{7} = \frac{y}{4}$

Приведем уравнение к общему виду $ax + by + c = 0$:

$4(x + 4) = 7y$

$4x + 16 = 7y$

$4x - 7y + 16 = 0$

Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости. Нам нужна та, что отсекает от круга меньшую часть. Меньшей частью является сегмент, который не содержит центр круга. Проверим, в какой из полуплоскостей находится центр круга $C(-2; 1)$, подставив его координаты в левую часть уравнения прямой:

$4(-2) - 7(1) + 16 = -8 - 7 + 16 = 1$

Результат $1 > 0$. Это означает, что центр круга лежит в полуплоскости, которая задается неравенством $4x - 7y + 16 > 0$. Соответственно, меньшая часть круга лежит в противоположной полуплоскости. Неравенство для этой полуплоскости, включая саму прямую, будет:

$4x - 7y + 16 \le 0$

3. Формирование системы неравенств.

Объединяя оба полученных неравенства, мы задаем область, которая одновременно является частью круга и находится в нужной полуплоскости. Таким образом, искомая система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16 \\ 4x - 7y + 16 \le 0 \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16 \\ 4x - 7y + 16 \le 0 \end{cases}$