Номер 9, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Один рабочий может выполнить задание на 4 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 3 ч могут выполнить $ \frac{5}{8} $ этого задания. За какое время каждый рабочий может выполнить задание?

Решение. ......................

Примем всю работу за 1.

Пусть время, за которое первый рабочий может выполнить все задание, равно $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

Поскольку первый рабочий выполняет задание на 4 часа быстрее, чем второй, то второму рабочему на выполнение всего задания потребуется $(x+4)$ часов. Его производительность составляет $\frac{1}{x+4}$.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность равна: $v_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

По условию, работая вместе, за 3 часа они выполняют $\frac{5}{8}$ всего задания. Объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время. Составим уравнение: $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot 3 = \frac{5}{8}$.

Решим это уравнение. Разделим обе части на 3: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{5}{8 \cdot 3} = \frac{5}{24}$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю: $\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{5}{24}$ $\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{5}{24}$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $24 \cdot (2x+4) = 5 \cdot (x^2+4x)$ $48x + 96 = 5x^2 + 20x$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0$ $5x^2 - 28x - 96 = 0$.

Найдем корни этого уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем значения $x$ по формуле корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$. $x_2 = \frac{28 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-24}{10} = -2.4$.

Так как $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -2.4$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, время, за которое первый рабочий выполняет задание, равно 8 часам.

Время второго рабочего: $x+4 = 8+4 = 12$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 8 часов, второй рабочий — за 12 часов.