Номер 3, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Длина забора, огораживающего прямоугольный участок земли, равна 110 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 750 м². Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть длина участка равна x м, а ширина — y м. Длина забора равна $2(x+y)$, что по условию задачи составляет 110 м. Следовательно, $2(x+y) = 110$. (1)

Площадь участка равна $xy$ м², или 750 м², значит, $xy = 750$. (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$x+y = 55$

$xy = 750$

а) Используя алгебраические преобразования, $x^2 - 55x + 750 = 0$.

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$.

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{25}}{2} = \frac{55 + 5}{2} = 30$.

$y_1 = 55 - 30 = 25$.

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{25}}{2} = \frac{55 - 5}{2} = 25$.

$y_2 = 55 - 25 = 30$.

Ответ: 30 м и 25 м.

Решение. Пусть длина участка равна $x$ м, а ширина — $y$ м. Длина забора равна периметру прямоугольника, то есть $2(x+y)$, что по условию задачи составляет 110 м. Следовательно,

$2(x+y) = 110$ (1)

Площадь участка равна $xy$ м², или 750 м², значит,

$xy = 750$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$$ \begin{cases} 2(x+y) = 110, \\ xy = 750. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим сумму длины и ширины:

$x+y = \frac{110}{2}$

$x+y = 55$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 55 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x(55-x) = 750$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$55x - x^2 = 750$

$x^2 - 55x + 750 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Теперь найдём соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 30$, то $y_1 = 55 - 30 = 25$.

Если $x_2 = 25$, то $y_2 = 55 - 25 = 30$.

Таким образом, длина и ширина участка составляют 30 м и 25 м.

Ответ: длина участка 30 м, ширина 25 м (или наоборот, ширина 30 м, длина 25 м).