Номер 3, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Известно, что одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными $5x - 3y = 4$. Подберите второе уравнение так, чтобы система:

а) имела единственное решение:

б) не имела решений:

в) имела бесконечное множество решений:

Рассмотрим общую систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Количество решений такой системы определяется соотношением коэффициентов при переменных и свободных членов.

• Система имеет единственное решение (прямые пересекаются), если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Система не имеет решений (прямые параллельны), если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
• Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если все три отношения равны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

В данном задании первое уравнение системы $5x - 3y = 4$. Следовательно, мы имеем коэффициенты $a_1 = 5$, $b_1 = -3$ и $c_1 = 4$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого случая.

а) имела единственное решение:

Чтобы система имела единственное решение, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Подставив известные коэффициенты, получим: $\frac{5}{a_2} \neq \frac{-3}{b_2}$.

Нужно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы это неравенство было верным. Например, возьмем $a_2=2$ и $b_2=1$. Проверим условие: $\frac{5}{2} \neq \frac{-3}{1}$ — это верное неравенство. Коэффициент $c_2$ может быть любым, например, $c_2=1$.

Таким образом, второе уравнение может быть $2x + y = 1$.

Ответ: $2x + y = 1$ (возможен любой другой ответ, для которого не выполняется пропорция $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, например, $x+y=0$).

б) не имела решений:

Чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Подставим известные значения: $\frac{5}{a_2} = \frac{-3}{b_2} \neq \frac{4}{c_2}$.

Для выполнения первой части равенства $\frac{5}{a_2} = \frac{-3}{b_2}$, коэффициенты $a_2$ и $b_2$ должны быть пропорциональны $a_1=5$ и $b_1=-3$. Самый простой вариант — взять $a_2 = 5$ и $b_2 = -3$. Тогда отношение будет равно 1.

Теперь нужно удовлетворить второй части условия: $\frac{5}{5} \neq \frac{4}{c_2}$, то есть $1 \neq \frac{4}{c_2}$, откуда $c_2 \neq 4$. Выберем любое значение для $c_2$, не равное 4, например, $c_2 = 1$.

Таким образом, второе уравнение может быть $5x - 3y = 1$.

Ответ: $5x - 3y = 1$ (возможен любой другой ответ вида $5kx - 3ky = m$, где $m \neq 4k$).

в) имела бесконечное множество решений:

Чтобы система имела бесконечное множество решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Это означает, что второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое ненулевое число $k$. Возьмем, к примеру, $k=2$.

Умножим все коэффициенты первого уравнения на 2:

$a_2 = 5 \cdot 2 = 10$

$b_2 = (-3) \cdot 2 = -6$

$c_2 = 4 \cdot 2 = 8$

Получаем второе уравнение: $10x - 6y = 8$. Проверим равенство отношений: $\frac{5}{10} = \frac{-3}{-6} = \frac{4}{8}$, что равносильно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Условие выполнено.

Ответ: $10x - 6y = 8$ (возможно любое уравнение, полученное умножением исходного $5x - 3y = 4$ на любое ненулевое число).