Номер 6, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Дана система уравнений $ \begin{cases} 5x - 2y = 7, \\ kx + 6y = m. \end{cases} $

Подберите такие значения k и m, при которых система:

а) имеет одно решение ............................

б) имеет бесконечно много решений ....................

в) не имеет решений ....................

Ответ: а) ..................... б) ..................... в) .....................

Данная система линейных уравнений имеет вид:
$5x - 2y = 7$
$kx + 6y = m$

Для анализа количества решений системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ удобно использовать соотношения коэффициентов. В нашем случае: $a_1 = 5$, $b_1 = -2$, $c_1 = 7$
$a_2 = k$, $b_2 = 6$, $c_2 = m$

Система имеет единственное решение, если прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что эквивалентно условию непропорциональности коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} \ne \frac{-2}{6}$
Упростим правую часть:
$\frac{5}{k} \ne -\frac{1}{3}$
Из этого соотношения, используя правило пропорции, находим, при каком значении $k$ равенство бы выполнялось: $5 \cdot 3 = -1 \cdot k \implies 15 = -k \implies k = -15$.
Следовательно, чтобы система имела одно решение, необходимо, чтобы $k \ne -15$. Значение $m$ при этом может быть любым действительным числом.

Ответ: $k \ne -15$, $m$ — любое число.

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} = \frac{7}{m}$
Это можно разбить на два уравнения:
1) $\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} \implies \frac{5}{k} = -\frac{1}{3} \implies k = -15$.
2) $\frac{-2}{6} = \frac{7}{m} \implies -\frac{1}{3} = \frac{7}{m} \implies -m = 21 \implies m = -21$.
Таким образом, система имеет бесконечно много решений только при $k = -15$ и $m = -21$.

Ответ: $k = -15$, $m = -21$.

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$
Подставим наши значения:
$\frac{5}{k} = \frac{-2}{6} \ne \frac{7}{m}$
Из первой части равенства $\frac{5}{k} = \frac{-2}{6}$ мы уже знаем, что $k = -15$.
Из второй части, неравенства $\frac{-2}{6} \ne \frac{7}{m}$, мы получаем, что $m$ не должно быть равно $-21$ (как в пункте б).
$-\frac{1}{3} \ne \frac{7}{m} \implies -m \ne 21 \implies m \ne -21$.
Следовательно, система не будет иметь решений при $k = -15$ и любом значении $m$, не равном $-21$.

Ответ: $k = -15$, $m \ne -21$.