Номер 17, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Выясните с помощью графиков, сколько решений имеет система уравнений

$$ \begin{cases} xy = 8 \\ y = 0,5x^2 - 9 \end{cases} $$

и найдите эти решения.

x

y

x

y

y

x

0

1

1

Ответ: ............................

Для того чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков и будут решениями системы.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 8 \\ y = 0,5x^2 - 9 \end{cases}$$

Первое уравнение системы, $xy = 8$, можно представить в виде функции $y = \frac{8}{x}$. Второе уравнение, $y = 0,5x^2 - 9$, уже представлено в виде функции.

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=8$ положителен, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для графика. Составим таблицу значений для построения графика:

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $0,5$, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = 0$. Ордината вершины: $y_v = 0,5 \cdot 0^2 - 9 = -9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -9)$. Парабола симметрична относительно оси Oy. Составим таблицу значений для построения:

Построим оба графика на одной координатной плоскости. График гиперболы и график параболы пересекаются в двух точках. Это означает, что система уравнений имеет два решения.

Так как точки пересечения не находятся в узлах координатной сетки (точках с целочисленными координатами), мы можем найти их координаты только приблизительно, считав их с графика.

• Первая точка пересечения расположена в I координатной четверти. Ее приблизительные координаты: $x \approx 4,6$; $y \approx 1,7$.
• Вторая точка пересечения расположена в III координатной четверти. Ее приблизительные координаты: $x \approx -3,7$; $y \approx -2,2$.

Ответ: система имеет 2 решения. Приблизительные решения: $(4,6; 1,7)$ и $(-3,7; -2,2)$.