Номер 6, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 см. Найдите площадь треугольника, если известно, что один из его катетов на 21 см больше другого.

Решение.

Ответ:

Решение.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. Согласно условию, другой катет на 21 см больше, значит, его длина составляет $(x + 21)$ см. Длина гипотенузы равна 39 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$):

$x^2 + (x + 21)^2 = 39^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x^2 + (x^2 + 42x + 441) = 1521$

$2x^2 + 42x + 441 - 1521 = 0$

$2x^2 + 42x - 1080 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 21x - 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-21 + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 + 51}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-21 - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{-21 - 51}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной, выбираем корень $x = 15$. Таким образом, длина одного катета равна 15 см.

Длина второго катета: $15 + 21 = 36$ см.

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36$

$S = 15 \cdot 18 = 270$ см².

Ответ: 270 см².