Номер 12, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Бассейн наполняется через первую трубу на 6 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала на 10 ч первую трубу, а затем на 3 ч вторую. За какое время наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Решение.

Пусть время, за которое первая труба наполняет бассейн, равно $x$ часов. Тогда ее производительность (часть бассейна, наполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 6 часов быстрее, чем вторая, следовательно, второй трубе для наполнения бассейна требуется $(x+6)$ часов. Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{x+6}$.

Объем всего бассейна примем за 1. Согласно условию, бассейн можно наполнить, если первая труба будет работать 10 часов, а затем вторая — 3 часа. Составим уравнение, исходя из того, что суммарная работа двух труб равна объему бассейна:

$10 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{x+6} = 1$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю и, учитывая, что $x>0$, приравняем числитель к знаменателю:

$10(x+6) + 3x = x(x+6)$

$10x + 60 + 3x = x^2 + 6x$

$13x + 60 = x^2 + 6x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x - 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

$\sqrt{D} = 17$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет 12 часов.

Время наполнения бассейна второй трубой: $x+6 = 12+6 = 18$ часов.

Теперь найдем время, за которое бассейн наполнится при совместной работе обеих труб. Совместная производительность равна сумме производительностей каждой трубы:

$P_{совм} = \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ (часть бассейна в час)

Время $t$ для наполнения всего бассейна при совместной работе вычисляется по формуле $t = \frac{A}{P}$, где работа $A=1$:

$t = \frac{1}{P_{совм}} = \frac{1}{5/36} = \frac{36}{5} = 7,2$ часа.

7,2 часа — это 7 часов и $0,2 \cdot 60 = 12$ минут.

Ответ: 7,2 часа.