Номер 7, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Из пункта M в пункт N, удалённый на расстояние 48 км, выехали одновременно два велосипедиста. Через 2 ч оказалось, что первый велосипедист проехал на 6 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что на весь путь первый велосипедист затратил на 32 мин меньше, чем второй.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч. Тогда за 2 ч первый велосипедист проехал $2x$ км, а второй — $2y$ км. Первый велосипедист проехал на 6 км больше, следовательно, $2x - 2y = 6$ (1)

Первый велосипедист затратил на весь путь $\frac{48}{x}$ ч, а второй — $\frac{48}{y}$ ч, при этом первое время на 32 мин, т. е. на $\frac{8}{15}$ ч, меньше второго, следовательно, $\frac{48}{x} = \frac{48}{y} - \frac{8}{15}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Решение. Пусть скорость первого велосипедиста $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч. Тогда за 2 ч первый велосипедист проехал $2x$ км, а второй — $2y$ км. Первый велосипедист проехал на 6 км больше, следовательно, $2x - 2y = 6$, что эквивалентно $x - y = 3$ (1).

Первый велосипедист затратил на весь путь $\frac{48}{x}$ ч, а второй — $\frac{48}{y}$ ч, при этом первое время на 32 мин, т. е. на $\frac{32}{60} = \frac{8}{15}$ ч, меньше второго, следовательно, $\frac{48}{y} - \frac{48}{x} = \frac{8}{15}$ (2).

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ \frac{48}{y} - \frac{48}{x} = \frac{8}{15} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$$ \frac{48}{y} - \frac{48}{y+3} = \frac{8}{15} $$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения:

$$ \frac{6}{y} - \frac{6}{y+3} = \frac{1}{15} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y+3)$:

$$ \frac{6(y+3) - 6y}{y(y+3)} = \frac{1}{15} $$

$$ \frac{6y + 18 - 6y}{y^2 + 3y} = \frac{1}{15} $$

$$ \frac{18}{y^2 + 3y} = \frac{1}{15} $$

По свойству пропорции (умножая крест-накрест), получим:

$$ y^2 + 3y = 18 \cdot 15 $$

$$ y^2 + 3y = 270 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ y^2 + 3y - 270 = 0 $$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Так как $\sqrt{1089} = 33$, найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$y_2 = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость ($y$) не может быть отрицательной величиной, корень $y_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста $y = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста, используя уравнение $x = y + 3$:

$x = 15 + 3 = 18$

Скорость первого велосипедиста $x = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 18 км/ч, скорость второго велосипедиста — 15 км/ч.