Номер 9, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Не выполняя построения, найдите точки пересечения окружности $x^2+y^2=16$ и параболы $y=4-x^2$.

Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений окружности и параболы:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 4 - x^2 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$ через $y$:

$x^2 = 4 - y$

Теперь подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:

$(4 - y) + y^2 = 16$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:

$y^2 - y + 4 - 16 = 0$

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = 4 - y$.

1. При $y = 4$:

$x^2 = 4 - 4 = 0$

$x = 0$

Следовательно, первая точка пересечения — $(0; 4)$.

2. При $y = -3$:

$x^2 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x = \sqrt{7}$ и $x = -\sqrt{7}$.

Следовательно, еще две точки пересечения — $(\sqrt{7}; -3)$ и $(-\sqrt{7}; -3)$.

Таким образом, окружность и парабола пересекаются в трех точках.

Ответ: $(0; 4)$, $(\sqrt{7}; -3)$, $(-\sqrt{7}; -3)$.