Номер 5, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Решите систему уравнений способом подстановки и дайте графическую иллюстрацию

$\begin{cases} xy = 6, \\ x - 2y = 4. \end{cases}$

....................

....................

....................

....................

$y$

$1$

$0$ $1$

$x$

Ответ: ....................

Решение системы уравнений способом подстановки

Дана система уравнений:

1. Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду:

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

Найдем корни, например, по теореме Виета. Сумма корней должна быть равна $-2$, а их произведение $-3$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-3$.

4. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 4 + 2y$:

• Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6$.
• Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 4 + 2 \cdot (-3) = 4 - 6 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(6, 1)$ и $(-2, -3)$.

Ответ: $(6, 1)$, $(-2, -3)$.

Графическая иллюстрация

Для графической иллюстрации необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

1. График уравнения $xy = 6$

Это уравнение можно представить в виде функции $y = \frac{6}{x}$. Графиком является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Для построения составим таблицу значений, заполнив предоставленный шаблон:

2. График уравнения $x - 2y = 4$

Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Приведем его к стандартному виду $y = kx + b$:

Для построения прямой достаточно двух точек. Заполним таблицу:

Нанеся точки из таблиц на координатную плоскость и соединив их, мы получим гиперболу и прямую. Эти графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы. Точки пересечения: $(-2, -3)$ и $(6, 1)$. Это полностью совпадает с результатом, полученным аналитически.

Ответ: Графиком системы является гипербола $y=6/x$ и прямая $y = \frac{1}{2}x - 2$, которые пересекаются в точках с координатами $(-2, -3)$ и $(6, 1)$.