Номер 17, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Найдите целые решения уравнения:

а) $xy + y^2 = 5$; б) $x^2 - y^2 = 7$; в) $xy - 2y^2 = 3$.

Решение. а) Представим данное уравнение в виде $y(x + y) = 5$.

Уравнение имеет целые решения, если один из множителей равен $-1$ или $1$, а другой равен соответственно $-5$ или $5$.

Имеем четыре системы уравнений:

.......................

Ответ: а) ...........................

в) ..................

а) $xy + y^2 = 5$

Представим уравнение в виде, вынеся общий множитель $y$ за скобки:
$y(x + y) = 5$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то множители $y$ и $(x + y)$ также должны быть целыми. Произведение этих множителей равно 5. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 5: (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x + 1 = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x = 4 \end{cases}$. Решение: $(4, 1)$.

2) $\begin{cases} y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 5 \\ x + 5 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 5 \\ x = -4 \end{cases}$. Решение: $(-4, 5)$.

3) $\begin{cases} y = -1 \\ x + y = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x - 1 = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x = -4 \end{cases}$. Решение: $(-4, -1)$.

4) $\begin{cases} y = -5 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5 \\ x - 5 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -5 \\ x = 4 \end{cases}$. Решение: $(4, -5)$.

Ответ: $(4, 1), (-4, 5), (-4, -1), (4, -5)$.

б) $x^2 - y^2 = 7$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов:
$(x - y)(x + y) = 7$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми. Произведение этих множителей равно 7. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 7: (1, 7), (7, 1), (-1, -7), (-7, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}$. Сложив два уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ во второе уравнение, получим $4 + y = 7$, откуда $y=3$. Решение: $(4, 3)$.

2) $\begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ во второе уравнение, получим $4 + y = 1$, откуда $y=-3$. Решение: $(4, -3)$.

3) $\begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = -7 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -8$, откуда $x=-4$. Подставив $x=-4$ во второе уравнение, получим $-4 + y = -7$, откуда $y=-3$. Решение: $(-4, -3)$.

4) $\begin{cases} x - y = -7 \\ x + y = -1 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -8$, откуда $x=-4$. Подставив $x=-4$ во второе уравнение, получим $-4 + y = -1$, откуда $y=3$. Решение: $(-4, 3)$.

Ответ: $(4, 3), (4, -3), (-4, -3), (-4, 3)$.

в) $xy - 2y^2 = 3$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x - 2y) = 3$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то множители $y$ и $(x - 2y)$ также должны быть целыми. Их произведение равно 3. Рассмотрим все возможные пары целых множителей числа 3: (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1). Это приводит к четырем системам уравнений:

1) $\begin{cases} y = 1 \\ x - 2y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x - 2(1) = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 \\ x = 5 \end{cases}$. Решение: $(5, 1)$.

2) $\begin{cases} y = 3 \\ x - 2y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 \\ x - 2(3) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 \\ x = 7 \end{cases}$. Решение: $(7, 3)$.

3) $\begin{cases} y = -1 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x - 2(-1) = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -1 \\ x = -5 \end{cases}$. Решение: $(-5, -1)$.

4) $\begin{cases} y = -3 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -3 \\ x - 2(-3) = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -3 \\ x = -7 \end{cases}$. Решение: $(-7, -3)$.

Ответ: $(5, 1), (7, 3), (-5, -1), (-7, -3)$.