Номер 12, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Докажите, что графиком уравнения $y - 3x^2 = 8 - 12(x-1)$ является парабола. Укажите координаты её вершины.

Решение:

Ответ:

Докажите, что графиком уравнения $y - 3x^2 = 8 - 12(x-1)$ является парабола.
Для доказательства необходимо привести данное уравнение к каноническому виду параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.
Исходное уравнение: $y - 3x^2 = 8 - 12(x - 1)$.
Сначала выразим $y$, перенеся член $-3x^2$ в правую часть уравнения:
$y = 3x^2 + 8 - 12(x - 1)$
Теперь раскроем скобки в правой части:
$y = 3x^2 + 8 - 12x + 12$
Приведем подобные слагаемые:
$y = 3x^2 - 12x + 20$
Полученное уравнение вида $y = 3x^2 - 12x + 20$ является уравнением квадратичной функции. Графиком любой квадратичной функции, у которой коэффициент при $x^2$ не равен нулю (в нашем случае $a=3 \neq 0$), является парабола. Это и доказывает утверждение.
Ответ: Исходное уравнение преобразуется к виду $y = 3x^2 - 12x + 20$, что является уравнением параболы.

Укажите координаты её вершины.
Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам: абсцисса $x_в = -\frac{b}{2a}$ и ордината $y_в = y(x_в)$.
Для нашей параболы $y = 3x^2 - 12x + 20$ коэффициенты равны $a = 3$, $b = -12$, $c = 20$.
Вычислим абсциссу вершины:
$x_в = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
Далее вычислим ординату вершины, подставив найденное значение $x_в = 2$ в уравнение параболы:
$y_в = 3(2)^2 - 12(2) + 20 = 3 \cdot 4 - 24 + 20 = 12 - 24 + 20 = 8$
Следовательно, вершина параболы находится в точке с координатами $(2; 8)$.
Ответ: $(2; 8)$.