Номер 9, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Найдите все целые решения уравнения:

a) $xy=5$;

б) $x^2+y^2=16$.

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................

.................

Ответ: a) ......................

б) ......................

а) $xy = 5$;

Чтобы найти все целые решения уравнения, необходимо найти все пары целых чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 5. Это означает, что $x$ и $y$ являются целыми делителями числа 5.
Целые делители числа 5 это: 1, 5, -1, -5.
Рассмотрим все возможные комбинации:
1. Если $x = 1$, то $y = 5$. Получаем пару $(1, 5)$.
2. Если $x = 5$, то $y = 1$. Получаем пару $(5, 1)$.
3. Если $x = -1$, то $y = -5$. Получаем пару $(-1, -5)$.
4. Если $x = -5$, то $y = -1$. Получаем пару $(-5, -1)$.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.

б) $x^2 + y^2 = 16$.

Для решения этого уравнения в целых числах нужно найти все пары целых $x$ и $y$, сумма квадратов которых равна 16.
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ — это неотрицательные целые числа, которые являются полными квадратами (0, 1, 4, 9, 16, 25, ...).
Из уравнения следует, что $x^2 \le 16$ и $y^2 \le 16$, так как оба слагаемых неотрицательны. Это означает, что возможные целые значения для $x$ и $y$ лежат в диапазоне от -4 до 4.
Рассмотрим возможные значения для $x^2$ из списка полных квадратов, не превосходящих 16:
- Если $x^2 = 0$, то $x=0$. Тогда $y^2 = 16 - 0 = 16$, и $y = \pm 4$. Получаем решения: $(0, 4)$ и $(0, -4)$.
- Если $x^2 = 1$, то $x=\pm 1$. Тогда $y^2 = 16 - 1 = 15$. Число 15 не является полным квадратом, значит, целых решений для $y$ нет.
- Если $x^2 = 4$, то $x=\pm 2$. Тогда $y^2 = 16 - 4 = 12$. Число 12 не является полным квадратом.
- Если $x^2 = 9$, то $x=\pm 3$. Тогда $y^2 = 16 - 9 = 7$. Число 7 не является полным квадратом.
- Если $x^2 = 16$, то $x=\pm 4$. Тогда $y^2 = 16 - 16 = 0$, и $y = 0$. Получаем решения: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.
Других полных квадратов для $x^2$ в этом диапазоне нет.

Ответ: $(4, 0), (-4, 0), (0, 4), (0, -4)$.