Номер 11, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Докажите, что графиком уравнения $x(x+4)+y(y-6)=23$ является окружность. Укажите длину её радиуса и координаты центра $C(a; b)$.

.........................

Для того чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, и найти её параметры, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности $C$, а $r$ — её радиус.

Исходное уравнение: $x(x + 4) + y(y - 6) = 23$

1. Преобразование уравнения

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $x^2 + 4x + y^2 - 6y = 23$

Затем сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$: $(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 23$

Теперь дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ и $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$.

Для выражения с $x$: $x^2 + 4x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $2^2 = 4$. $(x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2$

Для выражения с $y$: $y^2 - 6y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить $3^2 = 9$. $(y^2 - 6y + 9) = (y - 3)^2$

Чтобы уравнение осталось верным, мы должны добавить те же числа ($4$ и $9$) в правую часть уравнения: $(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 23 + 4 + 9$

Теперь свернем полные квадраты в левой части и вычислим сумму в правой: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 36$

Полученное уравнение имеет канонический вид уравнения окружности. Это доказывает, что график исходного уравнения действительно является окружностью.

2. Определение радиуса и координат центра

Сравним полученное уравнение $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 36$ с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Чтобы найти $a$ и $b$, представим уравнение в виде: $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 6^2$

Отсюда следует, что:

• Координаты центра $a = -2$ и $b = 3$. Таким образом, центр окружности находится в точке $C(-2; 3)$.
• Квадрат радиуса $r^2 = 36$.
• Длина радиуса $r = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: Уравнение представляет собой окружность. Длина её радиуса равна 6, а координаты центра — $C(-2; 3)$.