Номер 15, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Постройте график уравнения:

а) $y + 6x = x^2 + 9;$

б) $2xy - 5y + x - 2.5 = 0;$

в) $x^2 + 4y - 10x + y^2 + 13 = 0.$

a)

б)

в)

а) Преобразуем исходное уравнение $y + 6x = x^2 + 9$, выразив $y$ через $x$:
$y = x^2 - 6x + 9$
Замечаем, что правая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$.
Таким образом, уравнение принимает вид: $y = (x - 3)^2$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. График этой функции можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке с координатами $(3; 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = (x - 3)^2$ с вершиной в точке $(3; 0)$ и ветвями, направленными вверх.

б) Рассмотрим уравнение $2xy - 5y + x - 2,5 = 0$. Для удобства преобразуем его методом группировки. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$4xy - 10y + 2x - 5 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(4xy - 10y) + (2x - 5) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$2y(2x - 5) + 1(2x - 5) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(2x - 5)$:
$(2y + 1)(2x - 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
1) $2y + 1 = 0 \implies 2y = -1 \implies y = -0,5$
2) $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$
Графиком является объединение двух прямых: горизонтальной прямой $y = -0,5$ и вертикальной прямой $x = 2,5$.
Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y = -0,5$ и $x = 2,5$.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + 4y - 10x + y^2 + 13 = 0$. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 10x) + (y^2 + 4y) + 13 = 0$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения с $x$ добавим и вычтем $(\frac{10}{2})^2 = 25$. Для выражения с $y$ добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 4$.
$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$
Свернем полные квадраты и приведем подобные слагаемые:
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 - 25 - 4 + 13 = 0$
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 - 16 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 16$
Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(5; -2)$, а квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(5; -2)$ и радиусом $4$.