Номер 19, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

19. Составьте уравнения окружностей, симметричных окружности $ (x+4)^2 + (y-2)^2 = 1 $:

а) относительно оси абсцисс

б) относительно оси ординат

в) относительно начала координат

Исходное уравнение окружности имеет вид $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$. Это каноническое уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. Следовательно, центр данной окружности находится в точке $C(-4, 2)$, а её радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется, меняются только координаты центра.

а) относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) у точки меняется знак координаты $y$, а координата $x$ остается прежней. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_a(-4, -2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_a(-4, -2)$ и радиусом $R=1$: $(x - (-4))^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$
Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$

б) относительно оси ординат

При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) у точки меняется знак координаты $x$, а координата $y$ остается прежней. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_b(4, 2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_b(4, 2)$ и радиусом $R=1$: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$
Ответ: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 1$

в) относительно начала координат

При симметрии относительно начала координат (точки $O(0,0)$) у точки меняются знаки обеих координат. Таким образом, точка $C(-4, 2)$ переходит в точку $C_c(4, -2)$. Радиус новой окружности остается равным 1. Составим уравнение новой окружности с центром в $C_c(4, -2)$ и радиусом $R=1$: $(x - 4)^2 + (y - (-2))^2 = 1^2$ $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$
Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 1$