Номер 13, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x + y = -1 \end{cases}$

17. Парабола $y = ax^2 + c$ проходит через точки $A(-1; -1)$ и $B(3; -5)$.

..................

..................

..................

..................

..................

..................

Ответ: a) ................... б) ...................

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(1 + y)y = 6$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$y + y^2 = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем пару решений $(3; 2)$.

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 1 + (-3) = -2$. Получаем пару решений $(-2; -3)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3; 2)$ и $(-2; -3)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5, \\ x + y = -1. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Тогда первое уравнение можно переписать в виде:

$(x - y)(x + y) = 5$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = -1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y) \cdot (-1) = 5$

Отсюда находим выражение для $x - y$:

$x - y = -5$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - y = -5. \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = -1 + (-5)$

$2x = -6$

$x = -3$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = -1$:

$-3 + y = -1$

$y = -1 + 3$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$.