Номер 15, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Найдите два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов равна 29.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию задачи равно 3.

Следовательно, $x + y = 3$ (1)

Сумма их квадратов равна $x^2 + y^2$, что по условию задачи равно 29, следовательно, $x^2 + y^2 = 29$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Ответ: а) ...................., б) ....................

Решение. Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию задачи равно 3.

Следовательно, $x + y = 3$ (1)

Сумма их квадратов равна $x^2 + y^2$, что по условию задачи равно 29, следовательно, $x^2 + y^2 = 29$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 3 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (3 - x)^2 = 29$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (9 - 6x + x^2) = 29$

Приведём подобные слагаемые:

$2x^2 - 6x + 9 = 29$

Перенесём 29 в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0$

$2x^2 - 6x - 20 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:

1. Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 3 - x_1 = 3 - 5 = -2$.

2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 3 - x_2 = 3 - (-2) = 5$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару чисел: 5 и -2.

Проверим найденные числа:

Сумма чисел: $5 + (-2) = 3$.

Сумма их квадратов: $5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 5 и -2.