Номер 35, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Дана несократимая дробь. Если к числителю этой дроби прибавить 2, а знаменатель дроби удвоить, то значение дроби не изменится. Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом. Найдите эту дробь.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть $x$ — числитель искомой дроби, а $y$ — её знаменатель. Тогда сама дробь будет равна $\frac{x}{y}$. По условию задачи, к числителю этой дроби прибавили 2, а знаменатель дроби удвоили, при этом она стала $\frac{x+2}{2y}$, а её значение не изменилось. Следовательно, $\frac{x}{y} = \frac{x+2}{2y}$ (1)

Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом, следовательно, $\frac{x}{y-x} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Из (1) получаем:

$\frac{x}{y} = \frac{x+2}{2y}$

$2xy = y(x+2)$ (умножим обе части на $2y$)

$2x = x+2$ (так как $y \neq 0$)

$x = 2$

Подставим $x=2$ в условие (2):

$\frac{2}{y-2} = k$

Так как $k$ — целое число, то $y-2$ должно быть делителем числа 2.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа и дробь $\frac{x}{y}$ обычно подразумевает $y>x$, то $y-2 > 0$.

Следовательно, $y-2$ может быть 1 или 2.

Если $y-2 = 1$, то $y=3$. Проверим дробь $\frac{2}{3}$. Она несократимая. Это решение подходит.

Если $y-2 = 2$, то $y=4$. Проверим дробь $\frac{2}{4}$. Она сократима до $\frac{1}{2}$. Не подходит, так как по условию дробь несократимая.

Таким образом, единственное решение: $x=2, y=3$.

Следовательно, $\frac{2}{3}$ — искомая дробь.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Решение. Пусть $x$ — числитель искомой дроби, а $y$ — её знаменатель. Тогда сама дробь будет равна $\frac{x}{y}$. По условию задачи, к числителю этой дроби прибавили 2, а знаменатель дроби удвоили, при этом она стала $\frac{x+2}{2y}$, а её значение не изменилось. Следовательно,

$\frac{x+2}{2y} = \frac{x}{y}$ (1)

Если из знаменателя дроби вычесть числитель, то дробь станет целым числом, следовательно,

$\frac{x}{y-x} = k$, где $k$ — целое число (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Сначала решим уравнение (1). Так как $y$ — знаменатель, то $y \neq 0$. Мы можем умножить обе части уравнения на $2y$:

$y(x+2) = 2yx$

Разделим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$x+2 = 2x$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x=2$ в условие (2):

$\frac{2}{y-2} = k$, где $k$ — целое число.

Это означает, что знаменатель $(y-2)$ должен быть целым делителем числителя, то есть числа 2. Целыми делителями числа 2 являются: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если $y-2 = 1$, то $y = 3$. Дробь: $\frac{2}{3}$. Она несократимая. Проверим второе условие: $\frac{2}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$. Это целое число. Значит, этот вариант подходит.

2. Если $y-2 = -1$, то $y = 1$. Дробь: $\frac{2}{1}$. Она несократимая. Проверим второе условие: $\frac{2}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$. Это целое число. Этот вариант также подходит.

3. Если $y-2 = 2$, то $y = 4$. Дробь: $\frac{2}{4}$. Эта дробь является сократимой ($\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$), что противоречит начальному условию о несократимой дроби.

4. Если $y-2 = -2$, то $y = 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, у нас есть два решения: $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{1}$. Однако, формулировка "дробь станет целым числом" обычно подразумевает, что исходная дробь не была целым числом. Поэтому наиболее вероятным ответом является $\frac{2}{3}$.

Следовательно, искомая дробь — $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.