Номер 42, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

42. При каком значении p имеет решения система уравнений

$ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4, \\ 7x - 3y = p? \end{cases} $

Решение. Решим систему уравнений

$ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4. \end{cases} $

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

Найдём такое значение p, что найденное решение является решением третьего уравнения:

..............................

..............................

Ответ: p = .............................

Чтобы данная система из трех уравнений с двумя переменными имела решение, необходимо, чтобы пара чисел $(x, y)$, являющаяся решением первых двух уравнений, удовлетворяла и третьему уравнению.

Решим систему уравнений $ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ 3x + 2y = 4. \end{cases} $

Для решения используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 2x - 5$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$3x + 2(2x - 5) = 4$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$3x + 4x - 10 = 4$
$7x = 14$
$x = \frac{14}{7}$
$x = 2$.

Найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение $y = 2x - 5$:
$y = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Таким образом, решение системы из первых двух уравнений — это пара чисел $(2; -1)$.

Найдём такое значение p, что найденное решение является решением третьего уравнения:

Подставим найденные значения $x = 2$ и $y = -1$ в третье уравнение $7x - 3y = p$:
$7 \cdot (2) - 3 \cdot (-1) = p$
$14 - (-3) = p$
$14 + 3 = p$
$p = 17$.

При $p = 17$ решение первых двух уравнений является также решением третьего уравнения, а значит, вся система имеет решение.

Ответ: $p = 17$.