Номер 41, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

41. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

$\begin{cases} y = kx + b \\ y = \frac{1}{3}x - 2 \end{cases}$

а) не имела решений

б) имела бесконечно много решений

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $y = -1$.

Ответ: а) .......... б) .......... в) ..........

Дана система двух линейных уравнений:

Решение системы — это точка (или множество точек) пересечения двух прямых, заданных этими уравнениями. Количество решений зависит от взаимного расположения этих прямых, которое определяется их угловыми коэффициентами и точками пересечения с осью ординат.

Для прямой вида $y=mx+c$, $m$ — угловой коэффициент, а $c$ — ордината точки пересечения с осью OY (свободный член).

В нашей системе для первой прямой угловой коэффициент равен $k$, свободный член — $b$. Для второй прямой угловой коэффициент равен $\frac{1}{3}$, свободный член — $-2$.

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны.

Условие равенства угловых коэффициентов:

$k = \frac{1}{3}$

Условие различия свободных членов:

$b \neq -2$

Следовательно, для отсутствия решений необходимо, чтобы $k$ был равен $\frac{1}{3}$, а $b$ — любому числу, кроме $-2$.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $b$ — любое число, не равное $-2$ (например, $b=5$).

Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это происходит, когда и угловые коэффициенты, и свободные члены у них равны.

Условие равенства угловых коэффициентов:

$k = \frac{1}{3}$

Условие равенства свободных членов:

$b = -2$

Эти значения $k$ и $b$ определены однозначно.

Ответ: $k = \frac{1}{3}$, $b = -2$.

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны.

$k \neq \frac{1}{3}$

Известно, что ордината (координата $y$) точки пересечения равна $-1$. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) этой точки, подставим $y = -1$ во второе уравнение, так как оно не содержит неизвестных параметров:

$-1 = \frac{1}{3}x - 2$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2 - 1 = \frac{1}{3}x$

$1 = \frac{1}{3}x$

$x = 3$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(3, -1)$. Эта точка должна также лежать на первой прямой, то есть её координаты должны удовлетворять уравнению $y = kx + b$. Подставим $x=3$ и $y=-1$ в это уравнение:

$-1 = k \cdot 3 + b$

$3k + b = -1$

Нам нужно подобрать любую пару чисел $(k, b)$, которая удовлетворяет этому равенству и условию $k \neq \frac{1}{3}$. Мы можем выразить $b$ через $k$: $b = -1 - 3k$.

Выберем произвольное значение $k$, не равное $\frac{1}{3}$. Например, пусть $k = 1$.

Тогда $b = -1 - 3 \cdot 1 = -4$.

Пара $k=1$ и $b=-4$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: любая пара чисел $(k,b)$, для которой $k \neq \frac{1}{3}$ и $b = -1 - 3k$ (например, $k=1$ и $b=-4$).