Номер 14, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, и назовите какие-нибудь две пары значений x и y, удовлетворяющих системе неравенств:

a) $\begin{cases} 3y + 6 > x \\ x + 1 < -y \end{cases}$

..................

..................

..................

..................

x

y

x

y

a) б) $\begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 2)^2 < 4 \\ y - 4 < -0,5x \end{cases}$

..................

..................

..................

..................

x

y

x

y

б) в) $\begin{cases} 2x + 2y \le 3 \\ xy \ge -4 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + x \ge 2 \\ y < x^2 - 1 \end{cases}$

..................

..................

..................

..................

x

y

x

y

a) б) Ответ: а) .................

в) ...................

б) ...................

г) ...................

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3y + 6 > x \\ x + 1 < -y \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, чтобы выразить $y$:

1. $3y + 6 > x \implies 3y > x - 6 \implies y > \frac{1}{3}x - 2$. Решением этого неравенства является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x - 2$. Граница (прямая) не включается в решение, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

2. $x + 1 < -y \implies -x - 1 > y \implies y < -x - 1$. Решением этого неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x - 1$. Граница также не включается и изображается пунктирной линией.

Для построения граничных прямых составим таблицы значений:

Для $y = \frac{1}{3}x - 2$:

Для $y = -x - 1$:

Решением системы является пересечение этих двух областей — множество точек на координатной плоскости, которые лежат одновременно выше прямой $y = \frac{1}{3}x - 2$ и ниже прямой $y = -x - 1$. Это область, представляющая собой угол, открывающийся влево.

Примеры двух пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих системе: $(-2, 0)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: Две пары значений, например, $(-2, 0)$ и $(-3, -1)$.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 2)^2 < 4 \\ y - 4 < -0.5x \end{cases} $

1. Первое неравенство $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 < 4$ задает множество точек внутри окружности с центром в точке $(4, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в решение и изображается пунктирной линией.

2. Второе неравенство $y - 4 < -0.5x$ преобразуем к виду $y < -0.5x + 4$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -0.5x + 4$. Прямая изображается пунктиром.

Для построения прямой $y = -0.5x + 4$ составим таблицу значений:

Заметим, что прямая $y = -0.5x + 4$ проходит через центр окружности $(4, 2)$.

Решением системы является пересечение внутренней области окружности и полуплоскости ниже прямой. Это будет открытый полукруг (нижняя половина круга).

Примеры двух пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих системе: $(4, 1)$ и $(3, 1)$.

Ответ: Две пары значений, например, $(4, 1)$ и $(3, 1)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 2y \le 3 \\ xy \ge -4 \end{cases} $

1. Первое неравенство $2x + 2y \le 3$ преобразуем к виду $y \le -x + 1.5$. Оно задает замкнутую полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y = -x + 1.5$. Граница (прямая) включается в решение и изображается сплошной линией.

2. Второе неравенство $xy \ge -4$ задает область, расположенную "между" ветвями гиперболы $y = -4/x$. Граница (гипербола) также включается в решение и изображается сплошной линией.

Для построения прямой $y = -x + 1.5$ составим таблицу значений:

Для построения гиперболы $y = -4/x$ можно использовать точки: $(1, -4), (2, -2), (4, -1)$ и $(-1, 4), (-2, 2), (-4, 1)$.

Решением системы является пересечение этих двух областей.

Примеры двух пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих системе: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Две пары значений, например, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

г)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} y + x \ge 2 \\ y < x^2 - 1 \end{cases} $

1. Первое неравенство $y + x \ge 2$ преобразуем к виду $y \ge -x + 2$. Оно задает замкнутую полуплоскость, расположенную на и выше прямой $y = -x + 2$. Прямая изображается сплошной линией.

2. Второе неравенство $y < x^2 - 1$ задает область под параболой $y = x^2 - 1$. Парабола имеет вершину в точке $(0, -1)$ и ветви, направленные вверх. Граница (парабола) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Для построения граничных кривых составим таблицы значений:

Для прямой $y = -x + 2$:

Для параболы $y = x^2 - 1$:

Решением системы является пересечение этих двух областей: множество точек, лежащих одновременно над (или на) прямой и под параболой. Эта область существует там, где парабола находится выше прямой, то есть при $x^2 - 1 > -x + 2$, что равносильно $x^2 + x - 3 > 0$. Это выполняется для $x < \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ и $x > \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.

Примеры двух пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих системе: $(2, 1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Две пары значений, например, $(2, 1)$ и $(3, 0)$.