Номер 15, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Постройте график функции $y = \frac{2 + x - x^2}{x + 1}$. При каких значениях $x$ функция принимает неотрицательные значения?

x
y

Ответ:

Постройте график функции $y = \frac{2 + x - x^2}{x + 1}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель $-x^2 + x + 2$ на множители. Сначала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$. Умножим обе части на -1:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители: $-x^2 + x + 2 = -(x - 2)(x + 1) = (2 - x)(x + 1)$.

3. Подставим разложенный числитель обратно в формулу функции:

$y = \frac{(2 - x)(x + 1)}{x + 1}$

Поскольку $x \neq -1$ (из области определения), мы можем сократить дробь на $(x + 1)$:

$y = 2 - x$

4. Графиком данной функции является прямая $y = 2 - x$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = -1$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x = -1$ в уравнение прямой $y = 2 - x$:

$y = 2 - (-1) = 3$

Таким образом, точка с координатами $(-1, 3)$ не принадлежит графику функции и на графике изображается пустым кружком.

5. Для построения прямой $y = 2 - x$ достаточно двух точек. Заполним таблицу значений:

6. Для построения графика на координатной плоскости нужно отметить точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$, провести через них прямую линию, а затем отметить на этой прямой выколотую точку (пустой кружок) с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2 - x$ с выколотой точкой $(-1, 3)$.

При каких значениях x функция принимает неотрицательные значения?

Неотрицательные значения функции означают, что $y \ge 0$. Нам нужно решить неравенство:

$\frac{2 + x - x^2}{x + 1} \ge 0$

Используя упрощенное выражение для функции $y = 2 - x$ и ее область определения $x \neq -1$, мы можем записать эквивалентную систему:

$2 - x \ge 0$, при условии что $x \neq -1$.

Решаем простое линейное неравенство:

$2 \ge x$

$x \le 2$

Теперь объединим это решение с условием $x \neq -1$. Получается, что функция принимает неотрицательные значения при всех $x$, которые меньше или равны 2, за исключением $x = -1$.

Запишем это решение в виде объединения промежутков:

$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2]$

Этот же результат можно получить, анализируя построенный график: прямая $y = 2 - x$ лежит на оси $Ox$ или выше нее при $x \le 2$. При этом нужно исключить точку $x = -1$, в которой функция не определена.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2]$.