Номер 1, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) Функция $y = 3x - 2$

Данная функция является линейной вида $y = kx + b$, где $k = 3$, $b = -2$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для её построения достаточно определить координаты двух точек.

Построение графика:

Отметим на координатной плоскости точки $(0; -2)$ и $(2; 4)$ и проведём через них прямую.

Свойства функции $y = 3x - 2$:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (любое действительное число).
• Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: значение $y = 0$ достигается при $3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. Точка пересечения с осью $Ox$: $\left(\frac{2}{3}; 0\right)$.
• Пересечение с осью ординат: при $x = 0$ получаем $y = -2$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -2)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$;
  $y < 0$ при $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$.
• Монотонность: угловой коэффициент $k = 3 > 0$, следовательно, функция строго возрастает на всей области определения.
• Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
• Наибольшее и наименьшее значения: отсутствуют.

б) Функция $y = -\frac{4}{x}$

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = -4$. Графиком функции является гипербола. Так как коэффициент $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Построение графика:

Отметим найденные точки на координатной плоскости и плавно соединим их двумя отдельными ветвями.

Свойства функции $y = -\frac{4}{x}$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ (на ноль делить нельзя, то есть $x \neq 0$).
• Множество значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ (значение $y$ не может равняться нулю).
• Нули функции: отсутствуют (дробь $\frac{-4}{x}$ не может быть равна нулю). График не пересекает оси координат.
• Чётность/симметрия: функция является нечётной, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ (во II четверти);
  $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$ (в IV четверти).
• Монотонность: так как $k = -4 < 0$, функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ по отдельности.
• Асимптоты: прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 0$ (ось $Ox$) являются асимптотами графика (линиями, к которым график бесконечно приближается, но не пересекает).
• Наибольшее и наименьшее значения: функция не ограничена, экстремумов нет.