Номер 2, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 8x + 15 > 0$ найдём нули соответствующей квадратичной функции. Для этого решим квадратное уравнение:

$$x^2 - 8x + 15 = 0$$

Найдём корни уравнения через дискриминант $D$:

$$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$$

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

(Корни также легко находятся по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 15 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 5$).

Разложим левую часть неравенства на множители:

$$(x - 3)(x - 5) > 0$$

Применим метод интервалов или рассмотрим график функции $y = x^2 - 8x + 15$:

• График представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$).
• Точки пересечения с осью $Ox$: $x = 3$ и $x = 5$ (точки выколотые, так как знак неравенства строгий).
• Парабола находится выше оси $Ox$ (значения выражения положительны, то есть $> 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением неравенства являются промежутки: $x < 3$ или $x > 5$, что записывается в виде объединения числовых интервалов: $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$