Номер 1, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

1. Исследование параболы $y = 3x^2 + x - 30$

а)Коэффициент при старшем члене $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

б)Для нахождения точек пересечения параболы с осью $x$ положим $y = 0$ и решим квадратное уравнение:

$$3x^2 + x - 30 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$$

Следовательно, координаты точек пересечения с осью $x$: $\left(-3\frac{1}{3}; 0\right)$ и $(3; 0)$.

в)Схематическое изображение:
На координатной плоскости отмечаем точки пересечения с осью $Ox$: $\left(-\frac{10}{3}; 0\right)$ и $(3; 0)$. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{6}$, ордината вершины отрицательна ($y_0 < 0$). Проводим через указанные точки непрерывную дугообразную кривую, направленную ветвями вверх, у которой вершина лежит ниже оси $Ox$.

г)По графику определяем интервалы знакопостоянства:
$y < 0$ при $x \in \left(-3\frac{1}{3}; 3\right)$ (часть параболы лежит ниже оси $Ox$);
$y > 0$ при $x \in \left(-\infty; -3\frac{1}{3}\right) \cup (3; +\infty)$ (ветви уходят выше оси $Ox$).

2. Исследование параболы $y = -2x^2 - 5x + 12$

а)Коэффициент при старшем члене $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

б)Для нахождения точек пересечения с осью $x$ решим уравнение при $y = 0$:

$$-2x^2 - 5x + 12 = 0 \iff 2x^2 + 5x - 12 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$$

$$x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5$$

Следовательно, координаты точек пересечения с осью $x$: $(-4; 0)$ и $(1{,}5; 0)$.

в)Схематическое изображение:
На координатной плоскости отмечаем нули функции: $(-4; 0)$ и $(1{,}5; 0)$. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -1{,}25$, вершина располагается выше оси $Ox$ ($y_0 > 0$). Проводим параболу через эти точки, направив её ветви вниз.

г)По графику определяем интервалы знакопостоянства:
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -4) \cup (1{,}5; +\infty)$ (ветви опускаются ниже оси $Ox$);
$y > 0$ при $x \in (-4; 1{,}5)$ (вершинная часть графика лежит выше оси $Ox$).