Страница 327, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют числовой последовательностью?

1. Числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$, или, говоря проще, занумерованный ряд чисел, где каждому натуральному числу $n$ (номеру или индексу) поставлено в соответствие некоторое действительное число $a_n$.

Элементы, из которых состоит последовательность, называются её членами. Число $n$ — это номер члена последовательности, а $a_n$ — это $n$-й член последовательности. Саму последовательность принято обозначать в виде $(a_n)$ или $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$.

Например, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ представляет собой бесконечный упорядоченный набор чисел. Первым членом является $a_1$, вторым — $a_2$, и так далее.

Существует несколько способов задания числовой последовательности:

Аналитический способ. Последовательность задаётся формулой её $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность чётных положительных чисел можно задать формулой $a_n = 2n$. Используя эту формулу, мы можем найти любой член: $a_1 = 2 \cdot 1 = 2$, $a_2 = 2 \cdot 2 = 4$, $a_5 = 2 \cdot 5 = 10$, и так далее. Последовательность выглядит так: 2, 4, 6, 8, ...

Рекуррентный способ. Указывается один или несколько первых членов последовательности и формула, позволяющая найти любой следующий член через предыдущие. Слово "рекуррентный" происходит от латинского "recurrere" — возвращаться.
Пример: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 3$ задаётся рекуррентно: $a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n + 3$. Её члены: 5, 8, 11, 14, ... Другой известный пример — последовательность Фибоначчи: $f_1 = 1$, $f_2 = 1$, $f_{n+2} = f_{n+1} + f_n$. Её члены: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Словесный (описательный) способ. Правило, по которому составляется последовательность, описывается словами.
Пример: "Последовательность простых чисел". Первые члены этой последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Для этой последовательности не существует простой аналитической или рекуррентной формулы.

Последовательности могут быть конечными (если множество номеров $n$ конечно) и бесконечными. Также они классифицируются как возрастающие, убывающие, монотонные, ограниченные и т.д.

Ответ: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу (номеру) $n$ сопоставлено определённое число $a_n$, называемое $n$-м членом последовательности. Формально, это числовая функция, определённая на множестве натуральных чисел.

2. Какую числовую последовательность называют:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

а) ограниченной снизу

Числовую последовательность $(x_n)$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $x_n \ge m$. Это означает, что все члены последовательности больше или равны некоторому числу $m$, которое называется нижней границей последовательности.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = n^2$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$, ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 (или любое число меньше 1, например, 0), так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n = n^2 \ge 1$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше этого числа, то есть для любого номера $n$ выполняется $x_n \ge m$.

б) ограниченной сверху

Числовую последовательность $(x_n)$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $x_n \le M$. Это означает, что все члены последовательности меньше или равны некоторому числу $M$, которое называется верхней границей последовательности.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$, ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число 1 (или любое число больше 1), так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n = \frac{1}{n} \le 1$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не больше этого числа, то есть для любого номера $n$ выполняется $x_n \le M$.

в) ограниченной

Числовую последовательность называют ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. Другими словами, существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех членов последовательности $(x_n)$ выполняется двойное неравенство $m \le x_n \le M$.

Это условие равносильно тому, что существует такое положительное число $C > 0$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $|x_n| \le C$. Это означает, что все члены последовательности по абсолютному значению не превосходят некоторого числа $C$.

Пример: Последовательность, заданная формулой $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$, то есть $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$, является ограниченной. Все её члены заключены в промежутке $[-1, \frac{1}{2}]$, то есть $-1 \le x_n \le \frac{1}{2}$. Также можно сказать, что $|x_n| \le 1$ для всех $n$.

Ответ: Последовательность называют ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть существуют числа $m$ и $M$, между которыми заключены все члены последовательности ($m \le x_n \le M$).

3. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) ограничена снизу;

б) ограничена сверху;

в) ограничена;

г) не ограничена ни снизу, ни сверху.

а) ограничена снизу

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$.Для примера возьмем последовательность натуральных чисел, заданную формулой $a_n = n$.Её члены: $1, 2, 3, 4, \dots$Каждый член этой последовательности больше или равен 1, то есть $a_n \ge 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, последовательность ограничена снизу (например, числом 1).При этом, для любого сколь угодно большого числа $M$ найдется такой номер $n$ (например, любой $n > M$), что $a_n > M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) ограничена сверху

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_n \le M$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = -n$.Её члены: $-1, -2, -3, -4, \dots$Каждый член этой последовательности меньше или равен -1, то есть $a_n \le -1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, последовательность ограничена сверху (например, числом -1 или 0).При этом, для любого сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$ найдется такой номер $n$, что $a_n = -n < m$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность $a_n = -n$.

в) ограничена

Числовая последовательность $(a_n)$ называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху. То есть, существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого натурального номера $n$ выполняется двойное неравенство $m \le a_n \le M$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.Её члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$Все члены этой последовательности положительны, то есть $a_n > 0$, значит она ограничена снизу числом 0.Наибольшим членом последовательности является первый член $a_1 = 1$. Все остальные члены меньше 1, то есть $a_n \le 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Значит, она ограничена сверху числом 1.Так как последовательность ограничена и снизу, и сверху, она является ограниченной. Для неё выполняется неравенство $0 < a_n \le 1$.

Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) не ограничена ни снизу, ни сверху

Последовательность не ограничена ни снизу, ни сверху, если для любого числа $M$ найдется член последовательности, который больше $M$, и для любого числа $m$ найдется член последовательности, который меньше $m$.Для примера возьмем последовательность, заданную формулой $a_n = (-1)^n \cdot n$.Её члены: $-1, 2, -3, 4, -5, 6, \dots$Подпоследовательность членов с четными номерами ($a_{2k} = 2k$ при $n=2k$) имеет вид $2, 4, 6, \dots$ и неограниченно возрастает. Это значит, что последовательность не ограничена сверху.Подпоследовательность членов с нечетными номерами ($a_{2k-1} = -(2k-1)$ при $n=2k-1$) имеет вид $-1, -3, -5, \dots$ и неограниченно убывает (стремится к $-\infty$). Это значит, что последовательность не ограничена снизу.Следовательно, данная последовательность не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$.

4. Какую числовую последовательность называют:

а) возрастающей;

б) убывающей?

а) возрастающей

Числовую последовательность $(a_n)$ называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.
Это означает, что для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство:
$a_{n+1} > a_n$
Простыми словами, каждое следующее число в последовательности строго больше, чем то, которое стоит перед ним.
Пример 1: Последовательность натуральных чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. Здесь каждый следующий член на 1 больше предыдущего.
Пример 2: Последовательность $a_n = 2^n$, то есть $2, 4, 8, 16, 32, \dots$. Здесь $a_2=4 > a_1=2$, $a_3=8 > a_2=4$ и так далее.

Ответ: Числовую последовательность называют возрастающей, если для любого номера $n$ выполняется условие $a_{n+1} > a_n$.

б) убывающей

Числовую последовательность $(a_n)$ называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Это означает, что для любого натурального номера $n$ должно выполняться неравенство:
$a_{n+1} < a_n$
Простыми словами, каждое следующее число в последовательности строго меньше, чем то, которое стоит перед ним.
Пример 1: Последовательность $10, 5, 0, -5, -10, \dots$. Здесь каждый следующий член на 5 меньше предыдущего.
Пример 2: Последовательность $a_n = \frac{1}{n}$, то есть $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$. Здесь $a_2=\frac{1}{2} < a_1=1$, $a_3=\frac{1}{3} < a_2=\frac{1}{2}$ и так далее.

Ответ: Числовую последовательность называют убывающей, если для любого номера $n$ выполняется условие $a_{n+1} < a_n$.

5. Приведите пример числовой последовательности, которая:

а) убывает;

б) возрастает;

в) не является монотонной.

а) убывает;

Числовая последовательность называется убывающей, если каждый её следующий член меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального $n$.

Приведем пример такой последовательности. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$.

Её первые члены: $a_1 = \frac{1}{1} = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$, $a_4 = \frac{1}{4}$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

Проверим, выполняется ли условие убывания. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Поскольку для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Следовательно, $a_{n+1} < a_n$, и данная последовательность является убывающей.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, является убывающей. Например: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$

б) возрастает;

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый её следующий член больше предыдущего. Математически это записывается как $b_{n+1} > b_n$ для любого натурального $n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой общего члена $b_n = n$.

Её первые члены: $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, $b_3 = 3$, $b_4 = 4$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $1, 2, 3, 4, \dots$

Проверим, выполняется ли условие возрастания. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены: $b_{n+1} = n+1$ и $b_n = n$. Очевидно, что для любого натурального $n$ верно неравенство $n+1 > n$. Следовательно, $b_{n+1} > b_n$, и данная последовательность является возрастающей.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $b_n = n$, является возрастающей. Например: $1, 2, 3, \dots$

в) не является монотонной.

Монотонной называется последовательность, которая является либо возрастающей, либо убывающей (а также неубывающей или невозрастающей). Соответственно, немонотонная последовательность — это такая последовательность, которая не является ни возрастающей, ни убывающей. Это означает, что в последовательности существуют такие пары соседних членов, что $a_{k+1} > a_k$ для некоторого $k$, и $a_{m+1} < a_m$ для некоторого $m$.

Приведем пример такой последовательности. Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $c_n = (-1)^n$.

Её первые члены: $c_1 = (-1)^1 = -1$, $c_2 = (-1)^2 = 1$, $c_3 = (-1)^3 = -1$, $c_4 = (-1)^4 = 1$ и так далее.

Таким образом, последовательность имеет вид: $-1, 1, -1, 1, -1, 1, \dots$

Проверим её на монотонность. Сравним первые два члена: $c_2 = 1$ и $c_1 = -1$. Так как $1 > -1$, то $c_2 > c_1$. Это значит, что последовательность не может быть убывающей. Сравним второй и третий члены: $c_3 = -1$ и $c_2 = 1$. Так как $-1 < 1$, то $c_3 < c_2$. Это значит, что последовательность не может быть возрастающей. Поскольку последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, она не является монотонной.

Ответ: Последовательность, заданная формулой $c_n = (-1)^n$, не является монотонной. Например: $-1, 1, -1, 1, \dots$

6. При каких значениях основания $a$ последовательность $y_n = a^n$:

а) убывает;

б) возрастает;

в) стационарна;

г) немонотонна?

Для определения характера монотонности последовательности $y_n = a^n$ необходимо проанализировать, как соотносятся соседние члены $y_{n+1}$ и $y_n$ в зависимости от значения основания $a$. Характер последовательности (возрастание, убывание, стационарность) определяется знаком разности $y_{n+1} - y_n = a^{n+1} - a^n = a^n(a-1)$.

а) убывает

Последовательность является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Это эквивалентно неравенству $a^n(a - 1) < 0$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a > 0$, то $a^n$ всегда положительно. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(a - 1)$ был отрицательным:$a - 1 < 0 \implies a < 1$.С учетом условия $a > 0$, получаем, что последовательность убывает при $0 < a < 1$.

2. Если $a < 0$, то знак $a^n$ чередуется в зависимости от четности $n$.При $n=1$, $a^1 < 0$. Неравенство $a(a-1) < 0$ не выполняется, так как $a < 0$ и $a-1 < 0$, следовательно, их произведение положительно. Значит, при $a < 0$ последовательность не является убывающей.

3. Если $a=0$, последовательность стационарна ($0, 0, 0, \ldots$), а не строго убывающая.

Ответ: $0 < a < 1$.

б) возрастает

Последовательность является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это эквивалентно неравенству $a^n(a - 1) > 0$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a > 0$, то $a^n > 0$. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(a - 1)$ был положительным:$a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Если $a < 0$, то знак $a^n$ чередуется.При $n=2$, $a^2 > 0$. Неравенство $a^2(a-1) > 0$ требует, чтобы $a-1 > 0$, то есть $a > 1$, что противоречит условию $a < 0$. Значит, при $a < 0$ последовательность не является возрастающей.

Ответ: $a > 1$.

в) стационарна

Последовательность является стационарной, если для любого натурального $n$ выполняется равенство $y_{n+1} = y_n$, то есть все ее члены равны. Это эквивалентно уравнению $a^n(a - 1) = 0$.

Это равенство должно выполняться для всех $n \ge 1$. В частности, для $n=1$ получаем:$a(a - 1) = 0$.Отсюда $a = 0$ или $a = 1$.

Проверим оба значения:

• При $a = 1$ последовательность $y_n = 1^n = 1$ для всех $n$. Она стационарна.
• При $a = 0$ последовательность $y_n = 0^n = 0$ для всех $n \ge 1$. Она также стационарна.

Ответ: $a=0$ или $a=1$.

г) немонотонна

Последовательность является немонотонной, если она не является ни возрастающей, ни убывающей, ни стационарной. Из анализа предыдущих пунктов следует, что при $a \ge 0$ последовательность всегда монотонна (возрастает, убывает или стационарна).

Рассмотрим оставшийся случай: $a < 0$.

В этом случае знаки членов последовательности $y_n = a^n$ чередуются:

$y_1 = a$ (отрицательный)

$y_2 = a^2$ (положительный)

$y_3 = a^3$ (отрицательный)

и так далее.

Сравним первые три члена: $y_1 < y_2$ (так как отрицательное число меньше положительного), но $y_2 > y_3$ (так как положительное число больше отрицательного). Поскольку последовательность на одном шаге возрастает, а на другом убывает, она не является монотонной. Это справедливо для любого $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.