Страница 348, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняется соотношение:

а) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3;$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1;$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.$

а) Условие $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 3$ означает, что при неограниченном увеличении $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x)$ приближаются к числу 3. С точки зрения геометрии, это говорит о том, что у графика функции $y = f(x)$ есть правая горизонтальная асимптота, которая задается уравнением $y=3$.

Чтобы начертить такой график, можно выбрать любую функцию, которая обладает этим свойством. Например, рассмотрим функцию $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. При $x \to +\infty$, слагаемое $\frac{1}{x}$ стремится к 0, и, следовательно, $f(x)$ стремится к 3.

График такой функции будет приближаться к горизонтальной прямой $y=3$ справа. При этом поведение функции при малых или отрицательных значениях $x$ может быть любым, так как условие наложено только на $x \to +\infty$. График может пересекать свою асимптоту.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая при движении вправо по оси $x$ (при $x \to +\infty$) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=3$. Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

б) Условие $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 1$ означает, что при неограниченном уменьшении $x$ (когда $x$ стремится к минус бесконечности), значения функции $f(x)$ приближаются к числу 1. Геометрически это означает, что у графика функции $y = f(x)$ есть левая горизонтальная асимптота, заданная уравнением $y=1$.

В качестве примера можно рассмотреть функцию $f(x) = 1 + e^x$. Когда $x \to -\infty$, значение показательной функции $e^x$ стремится к 0, а значит, $f(x)$ стремится к 1.

График такой функции будет приближаться к горизонтальной прямой $y=1$ слева. Поведение функции при положительных значениях $x$ может быть любым, так как условие наложено только на $x \to -\infty$.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая при движении влево по оси $x$ (при $x \to -\infty$) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=1$. Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = 1 + e^x$.

в) Условие $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ (когда знак бесконечности не указан) обычно означает, что предел равен 0 как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$. То есть, должны выполняться два условия: $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ и $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$.

Геометрически это означает, что ось абсцисс (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции как справа, так и слева.

Простым примером такой функции является $f(x) = \frac{1}{x^2}$. При стремлении $x$ к $+\infty$ или к $-\infty$, знаменатель $x^2$ неограниченно растет, а вся дробь стремится к 0.

График этой функции расположен в верхней полуплоскости, симметричен относительно оси $y$ и приближается к оси $x$ с обеих сторон, когда $|x|$ становится очень большим.

Ответ: Графиком является любая кривая, которая и при движении вправо ($x \to +\infty$), и при движении влево ($x \to -\infty$) неограниченно приближается к оси абсцисс ($y=0$). Пример функции, удовлетворяющей условию: $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

2. Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой выполняются соотношения $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, причём функция:

а) монотонна;

б) немонотонна.

а) монотонна

Для построения графика функции необходимо выполнить три условия:
1. Предел функции при $x \to -\infty$ равен 3: $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 3$. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3$ слева.
2. Предел функции при $x \to +\infty$ равен -2: $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -2$. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$ справа.
3. Функция является монотонной.

Поскольку значение функции должно измениться с 3 до -2 при возрастании $x$ от $-\infty$ до $+\infty$, монотонная функция, удовлетворяющая этим условиям, должна быть монотонно убывающей.

В качестве примера такой функции можно взять функцию, основанную на экспоненте, которая плавно переходит от одного уровня к другому. Подходящей функцией является, например, арктангенс или логистическая функция. Рассмотрим функцию вида $f(x) = \frac{A e^x + B}{C e^x + D}$. Подберем коэффициенты, чтобы удовлетворить условиям:
При $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$, и предел равен $A/C$. Таким образом, $A/C = -2$.
При $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, и предел равен $B/D$. Таким образом, $B/D = 3$.

Выберем для простоты $C=1$ и $D=1$. Тогда $A=-2$ и $B=3$. Получаем функцию:
$f(x) = \frac{-2e^x + 3}{e^x + 1}$

Проверим её на монотонность, найдя производную:
$f'(x) = \frac{(-2e^x)(e^x+1) - (-2e^x+3)(e^x)}{(e^x+1)^2} = \frac{-2e^{2x} - 2e^x + 2e^{2x} - 3e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{-5e^x}{(e^x+1)^2}$

Поскольку $e^x > 0$ для любого $x$, числитель $-5e^x$ всегда отрицателен, а знаменатель $(e^x+1)^2$ всегда положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$, и функция является монотонно убывающей на всей числовой оси.

Описание графика:
График представляет собой плавную кривую. На левой стороне ($x \to -\infty$) он приближается сверху к горизонтальной асимптоте $y=3$. С ростом $x$ график пересекает ось $y$ в точке $(0, f(0)) = (0, \frac{-2+3}{1+1}) = (0, 0.5)$. Затем он пересекает ось $x$ в точке, где $f(x)=0$, то есть $-2e^x+3=0$, откуда $e^x = 1.5$ и $x = \ln(1.5) \approx 0.4$. Продолжая убывать, на правой стороне ($x \to +\infty$) график приближается сверху к горизонтальной асимптоте $y=-2$.

Ответ: В качестве примера можно привести функцию $f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x}$. Её график — это плавная кривая, которая монотонно убывает, имея горизонтальные асимптоты $y=3$ при $x \to -\infty$ и $y=-2$ при $x \to +\infty$.

б) немонотонна

Здесь условия на пределы функции остаются теми же, но функция должна быть немонотонной. Это означает, что на её области определения должны быть участки как возрастания, так и убывания. Следовательно, функция должна иметь хотя бы один локальный экстремум (минимум или максимум).

Чтобы построить такую функцию, можно взять за основу монотонную функцию из пункта а) и добавить к ней другую функцию, которая создаёт "колебание" или "горб", но при этом стремится к нулю при $x \to \pm\infty$, чтобы не изменять асимптотическое поведение.

Возьмём базовую монотонную функцию $g(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x}$ и добавим к ней функцию-"горб", например, вида $h(x) = A \cdot x \cdot e^{-Bx^2}$. Эта функция нечетная, имеет локальный максимум и минимум, и $\lim_{x\to \pm\infty} h(x) = 0$.

Рассмотрим функцию:
$f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x} + \frac{5x}{e^{x^2}}$

Поскольку $\lim_{x\to \pm\infty} \frac{5x}{e^{x^2}} = 0$ (что легко проверить по правилу Лопиталя), пределы функции $f(x)$ на бесконечности будут такими же, как у $g(x)$:
$\lim_{x\to -\infty} f(x) = 3 + 0 = 3$
$\lim_{x\to +\infty} f(x) = -2 + 0 = -2$

Однако добавочный член $\frac{5x}{e^{x^2}}$ вносит в поведение функции немонотонность. У него есть локальный максимум и локальный минимум в окрестности нуля, что нарушает общую монотонность функции $f(x)$.

Описание графика:
График также имеет горизонтальные асимптоты $y=3$ слева и $y=-2$ справа. Однако кривая не является гладко убывающей. Приходя слева от асимптоты $y=3$, функция убывает, но затем, в окрестности нуля, её поведение усложняется. Она может, например, сначала убывать до локального минимума (значение которого может быть меньше -2), затем возрастать до локального максимума, и только после этого снова начать убывать, стремясь к асимптоте $y=-2$ справа. Например, график может начаться около $y=3$, опуститься до точки $(-1, -3)$, подняться до точки $(1, 1)$, а затем устремиться к $y=-2$. Наличие участков убывания и возрастания делает функцию немонотонной.

Ответ: В качестве примера можно привести функцию $f(x) = \frac{3 - 2e^x}{1 + e^x} + \frac{5x}{e^{x^2}}$. Её график имеет асимптоты $y=3$ (при $x \to -\infty$) и $y=-2$ (при $x \to +\infty$), но при этом не является монотонным, имея локальные минимум и максимум в центральной части.

3. Известно, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальные асимптоты $y = 1$ при $x \to -\infty$ и $y = 7$ при $x \to +\infty$. Чему равен:

а) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$;

б) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$?

По определению, прямая $y=L$ является горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Предел функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, равен $L$: $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L $.

2. Предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности, равен $L$: $ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $.

В условии задачи даны обе горизонтальные асимптоты, что напрямую соответствует искомым пределам.

а) Из условия известно, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$. Согласно определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ равен 1.
$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 $
Ответ: 1

б) Из условия известно, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=7$ при $x \to +\infty$. Согласно определению горизонтальной асимптоты, это означает, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ равен 7.
$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 7 $
Ответ: 7

4. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности.

Теорема об арифметических операциях над пределами функций на бесконечности формулируется следующим образом.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы при $x$, стремящемся к бесконечности (то есть при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$):
$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$
$\lim_{x \to \infty} g(x) = B$
где $A$ и $B$ — конечные действительные числа.

Тогда справедливы следующие утверждения:

Предел суммы

Предел суммы двух функций на бесконечности равен сумме их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = A + B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$.

Предел разности

Предел разности двух функций на бесконечности равен разности их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) - \lim_{x \to \infty} g(x) = A - B$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = A - B$.

Предел произведения

Предел произведения двух функций на бесконечности равен произведению их пределов.
$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) = A \cdot B$
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
$\lim_{x \to \infty} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = c \cdot A$, где $c$ — любая константа.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = A \cdot B$.

Предел частного

Предел частного двух функций на бесконечности равен частному их пределов, при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.
$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{A}{B}$
Это правило справедливо только при условии, что $B \neq 0$.

Ответ: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$, при $B \neq 0$.

5. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.

Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке. Все они описывают одно и то же свойство: малое изменение аргумента функции приводит к малому изменению ее значения.

Определение через предел (по Гейне)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку $x_0$) и предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, равен значению функции в этой точке.

Это можно записать одним равенством:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Данное равенство подразумевает выполнение трёх условий:
1. Функция определена в точке $x_0$, то есть $f(x_0)$ существует.
2. Существует конечный предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен ее значению в этой же точке.

Определение на языке $\varepsilon-\delta$ (по Коши)

Это строгое, формальное определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех аргументов $x$, отстоящих от $x_0$ на расстояние меньше, чем $\delta$, соответствующие значения функции $f(x)$ будут отстоять от $f(x_0)$ на расстояние меньше, чем $\varepsilon$.

На языке математических символов это записывается так:

$\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0 \ \forall x \in D(f): \ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$

Геометрически это означает, что для любой горизонтальной полосы шириной $2\varepsilon$, с центром на линии $y=f(x_0)$, мы можем найти такую вертикальную полосу шириной $2\delta$ с центром на линии $x=x_0$, что часть графика функции, попавшая в вертикальную полосу, целиком лежит и в горизонтальной.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ можно подобрать такое $\delta > 0$, что из неравенства $|x - x_0| < \delta$ следует неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$.

Определение через приращения

Введем понятия приращения аргумента $\Delta x = x - x_0$ и соответствующего ему приращения функции $\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Математически это означает, что предел приращения функции равен нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 \quad \text{или} \quad \lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) = 0$

Это определение полностью эквивалентно первому: если перенести $f(x_0)$ в правую часть и учесть, что при $\Delta x \to 0$ переменная $x = x_0 + \Delta x$ стремится к $x_0$, мы получим $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Ответ: Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y$ в этой точке стремится к нулю, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю.

6. В каком случае функцию называют непрерывной на числовом промежутке?

Функцию $y = f(x)$ называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Определение непрерывности зависит от того, является ли точка внутренней для промежутка или его границей (концом).

В основе лежит понятие непрерывности функции в точке. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Это равенство означает, что выполнены три условия: 1. Функция определена в точке $x_0$ (т.е. $f(x_0)$ существует). 2. Существует предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$. 3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.

Исходя из этого, рассмотрим непрерывность на разных типах промежутков.

Непрерывность на интервале $(a, b)$

Функция называется непрерывной на открытом промежутке (интервале) $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. То есть для любой точки $x_0 \in (a, b)$ выполняется равенство $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Непрерывность на отрезке $[a, b]$

Это самый общий случай. Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке (отрезке) $[a, b]$, если:

1. она непрерывна на интервале $(a, b)$;
2. она непрерывна справа в левой граничной точке $a$;
3. она непрерывна слева в правой граничной точке $b$.

Непрерывность справа в точке $a$ (в левом конце отрезка) определяется через односторонний предел:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

Непрерывность слева в точке $b$ (в правом конце отрезка) также определяется через односторонний предел:

$\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$

Интуитивно непрерывность функции на отрезке означает, что ее график на этом отрезке является сплошной, непрерывной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывность на полуинтервалах $[a, b)$ и $(a, b]$

Определения для полуинтервалов строятся по аналогии:

• Функция непрерывна на $[a, b)$, если она непрерывна на $(a, b)$ и непрерывна справа в точке $a$.
• Функция непрерывна на $(a, b]$, если она непрерывна на $(a, b)$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ответ: Функцию называют непрерывной на числовом промежутке, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого промежутка, а в граничных точках (если они принадлежат промежутку) она непрерывна с соответствующей стороны. Для отрезка $[a, b]$ это означает, что функция непрерывна в каждой точке интервала $(a, b)$, непрерывна справа в точке $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$) и непрерывна слева в точке $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).

7. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами функций в точке.

Теорема об арифметических операциях над пределами функций формулируется следующим образом.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ и имеют в этой точке конечные пределы:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

$\lim_{x \to x_0} g(x) = B$

где $A$ и $B$ — действительные числа. Тогда в точке $x_0$ существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций, которые вычисляются по следующим правилам:

Предел суммы и разности
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to x_0} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$.

Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Ответ: $\lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) = A \cdot B$.

Вынесение постоянного множителя за знак предела
Как следствие из теоремы о пределе произведения, постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Ответ: $\lim_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) = c \cdot A$, где $c$ — постоянная величина.

Предел частного
Предел частного (отношения) двух функций равен частному их пределов при условии, что предел функции в знаменателе не равен нулю.
Ответ: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии $B \neq 0$.

8. Дана функция $y = f(x)$, $x \in X$. Что такое приращение аргумента; как оно обозначается? Что такое приращение функции; как оно обозначается?

Что такое приращение аргумента; как оно обозначается?

Пусть дана функция $y = f(x)$. Аргументом этой функции является независимая переменная $x$. Если мы рассматриваем изменение аргумента от некоторого начального значения $x_0$ до нового значения $x_1$, то возникает понятие приращения.

Приращение аргумента — это разность между новым и начальным значениями аргумента. Оно показывает, на сколько изменилась независимая переменная.

Для обозначения приращения аргумента используется символ $\Delta x$ (читается как "дельта икс").

Формула для вычисления приращения аргумента:

Отсюда можно выразить новое значение аргумента через начальное и приращение: $x_1 = x_0 + \Delta x$. Приращение $\Delta x$ может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Ответ: Приращение аргумента — это разность между его новым ($x_1$) и первоначальным ($x_0$) значениями. Обозначается оно как $\Delta x$ и вычисляется по формуле $\Delta x = x_1 - x_0$.

Что такое приращение функции; как оно обозначается?

Изменение аргумента на величину $\Delta x$ (от $x_0$ до $x_1 = x_0 + \Delta x$) вызывает соответствующее изменение значения функции $y=f(x)$. Значение функции изменится от $y_0 = f(x_0)$ до $y_1 = f(x_1) = f(x_0 + \Delta x)$.

Приращение функции — это разность между новым и начальным значениями функции, которая соответствует данному приращению аргумента.

Для обозначения приращения функции используются символы $\Delta y$ (читается как "дельта игрек") или $\Delta f$.

Формула для вычисления приращения функции:

Подставляя выражения для $y_1$ и $y_0$ через функцию $f(x)$, получаем:

А если выразить $x_1$ через $x_0$ и $\Delta x$, то формула примет наиболее употребительный вид, связывающий приращение функции с приращением аргумента:

Ответ: Приращение функции — это разность между новым значением функции, соответствующим новому значению аргумента $x_0 + \Delta x$, и её первоначальным значением, соответствующим $x_0$. Обозначается оно как $\Delta y$ или $\Delta f$ и вычисляется по формуле $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.