Страница 266, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какие из перечисленных ниже степенных функций убывают, какие — возрастают, а какие не являются монотонными:

$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{2}{7}}$?

Для определения монотонности степенной функции вида $y = x^p$ необходимо проанализировать ее поведение на всей области определения. Функция является монотонной, если она только возрастает или только убывает на всей своей области определения. Для анализа мы определим область определения каждой функции и исследуем знак ее производной $y' = px^{p-1}$.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Данную функцию можно представить в виде $y = \sqrt[3]{x^2}$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, \infty)$.
Найдем производную: $y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(0, \infty)$.
• При $x < 0$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$.

Поскольку функция убывает на одном промежутке и возрастает на другом, она не является монотонной на всей области определения.
Ответ: не является монотонной.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Функцию можно записать как $y = \sqrt{x^3}$. Из-за квадратного корня в неявном виде ($x^{3/2} = (x^{1/2})^3$) область определения функции — неотрицательные числа, $D(y) = [0, \infty)$.
Показатель степени $p = \frac{3}{2} > 0$. Степенная функция с положительным показателем на промежутке $[0, \infty)$ является возрастающей.
Проверим с помощью производной: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
При $x > 0$ производная $y' > 0$, значит, функция строго возрастает на всей своей области определения.
Ответ: возрастает.

$y = x^{-0,6}$

Показатель степени $p = -0,6 = -\frac{3}{5}$. Функцию можно записать как $y = x^{-3/5} = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$. Поскольку корень нечетной степени (пятой) определен для любого действительного числа, а знаменатель не может быть равен нулю, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Несмотря на то, что производная $y' = -0,6x^{-1,6} = \frac{-0,6}{\sqrt[5]{x^8}}$ отрицательна на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$, функция не является монотонной на всей области определения. Для проверки монотонности нужно рассматривать точки из разных интервалов. Возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, $x_1 < x_2$.
$y_1 = (-1)^{-3/5} = (\sqrt[5]{-1})^{-3} = (-1)^{-3} = -1$.
$y_2 = 1^{-3/5} = 1$.
Мы получили, что $y_1 < y_2$. Это противоречит определению убывающей функции (для которой должно выполняться $y_1 \ge y_2$). Следовательно, функция не является монотонной.
Ответ: не является монотонной.

$y = x^{11}$

Показатель степени $p = 11$ — нечетное натуральное число. Область определения $D(y) = (-\infty, \infty)$.
Степенная функция с нечетным натуральным показателем степени всегда возрастает на всей числовой прямой.
Проверим через производную: $y' = 11x^{10}$.
Так как $x^{10}$ является четной степенью, $x^{10} \ge 0$ для любого $x$. Производная $y' \ge 0$ на всей области определения (и равна нулю только в точке $x=0$), что подтверждает, что функция является возрастающей.
Ответ: возрастает.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $p = -11$. Функцию можно представить как $y = \frac{1}{x^{11}}$. Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Производная $y' = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$. Так как знаменатель $x^{12}$ всегда положителен для $x \neq 0$, производная $y'$ всегда отрицательна. Это говорит о том, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.
Однако, как и в случае с $y=x^{-0,6}$, проверим монотонность на всей области определения. Возьмем точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$, где $x_1 < x_2$.
$y_1 = (-1)^{-11} = -1$.
$y_2 = 1^{-11} = 1$.
Мы видим, что $y_1 < y_2$, что противоречит определению убывающей функции. Таким образом, функция не является монотонной.
Ответ: не является монотонной.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Показатель степени $p = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^{16/7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^{16}}}$. Так как корень нечетной степени, область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Найдем производную: $y' = -\frac{16}{7}x^{-\frac{16}{7}-1} = -\frac{16}{7}x^{-23/7} = -\frac{16}{7\sqrt[7]{x^{23}}}$.
Проанализируем знак производной:

• При $x > 0$, знаменатель $\sqrt[7]{x^{23}} > 0$, поэтому $y' < 0$ и функция убывает.
• При $x < 0$, $x^{23}$ отрицательно, поэтому $\sqrt[7]{x^{23}} < 0$. Значит $y' = \frac{-\text{число}}{-\text{число}} > 0$ и функция возрастает.

Поскольку на одном промежутке функция возрастает, а на другом убывает, она не является монотонной.
Ответ: не является монотонной.

Итоговый результат:

• Убывают: таких функций нет.
• Возрастают: $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{11}$.
• Не являются монотонными: $y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-2\frac{2}{7}}$.