Страница 259, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Какова область допустимых значений переменной в выражении $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$?

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной — это множество всех значений переменной, при которых данное выражение имеет смысл.

Рассмотрим выражение $(a+1)^{-\frac{1}{5}}$.

Для нахождения ОДЗ преобразуем данное выражение. Воспользуемся свойствами степени:

1. Свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применив его, получим:

$(a+1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{5}}}$

2. Свойство степени с дробным показателем: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Преобразуем знаменатель:

$(a+1)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a+1}$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{1}{\sqrt[5]{a+1}}$

Теперь проанализируем получившееся выражение. Существует два основных ограничения, которые нужно проверить:

• Подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным. В нашем случае корень пятой степени, то есть нечетной. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому выражение $a+1$ может быть как положительным, так и отрицательным, и равным нулю. На этом этапе ограничений нет.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. В нашем случае знаменатель — это $\sqrt[5]{a+1}$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\sqrt[5]{a+1} \neq 0$

Чтобы решить это неравенство, возведем обе его части в пятую степень:

$(\sqrt[5]{a+1})^5 \neq 0^5$

$a+1 \neq 0$

$a \neq -1$

Это единственное ограничение для переменной $a$. Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $-1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

5. Вычислите $8^{\frac{2}{3}}$, описав последовательность своих действий.

Для вычисления значения выражения $8^{-\frac{2}{3}}$ необходимо выполнить следующие действия в соответствии со свойствами степеней.

1. Преобразование отрицательной степени
Первым шагом воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применив это правило к нашему выражению, мы избавляемся от знака минуса в показателе, "перевернув" основание:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

2. Работа с дробной степенью
Теперь нам нужно вычислить знаменатель $8^{\frac{2}{3}}$. Степень с дробным показателем $\frac{m}{n}$ можно представить как извлечение корня $n$-ой степени из основания, возведенного в степень $m$. То есть, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. Удобнее сначала извлечь корень.
В нашем случае $a=8$, $n=3$ (знаменатель дроби), $m=2$ (числитель дроби).
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$
Сначала вычисляем кубический корень из 8. Нам нужно найти число, которое при умножении само на себя три раза даст 8. Это число 2, так как $2 \times 2 \times 2 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$
Теперь возводим полученный результат в квадрат (в степень, равную числителю дроби):
$2^2 = 4$
Таким образом, мы нашли значение знаменателя: $8^{\frac{2}{3}} = 4$.

3. Получение окончательного ответа
На последнем шаге подставляем вычисленное значение знаменателя обратно в выражение, полученное на первом шаге:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$
Это и есть итоговый результат. Его также можно записать в виде десятичной дроби: $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$