Номер 5, страница 91, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Сравните величину средней скорости движения электронов в металле (скорость их теплового движения) с величиной средней скорости их упорядоченного движения, вызванной действием сил электрического поля.

В металлах существует два основных вида движения свободных электронов: хаотическое тепловое движение и упорядоченное (дрейфовое) движение под действием электрического поля.

Средняя скорость теплового движения электронов

Электроны в металле, подобно молекулам газа, находятся в непрерывном хаотическом движении. Это движение обусловлено температурой проводника. Из-за случайности направлений, средняя векторная скорость этого движения равна нулю, но средняя по модулю (арифметическая) скорость очень велика. Электроны в металлах образуют так называемый "электронный газ", который точнее описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака, а не классической моделью идеального газа. Поэтому их кинетическая энергия определяется не столько температурой, сколько энергией Ферми. Скорость электронов на уровне Ферми ($v_F$) является характерной скоростью их теплового движения.

Проведем оценку этой скорости для меди. Энергия Ферми для меди $E_F \approx 7.0 \text{ эВ}$.

Дано:

Энергия Ферми для меди: $E_F = 7.0 \text{ эВ}$

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Переведем энергию в систему СИ (Джоули):

$E_F = 7.0 \text{ эВ} \cdot 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 11.2 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Среднюю скорость теплового движения $v_T$.

Решение:

Кинетическая энергия электрона связана с его скоростью формулой $E_F = \frac{m_e v_F^2}{2}$. Отсюда скорость на уровне Ферми, которую мы примем за оценку скорости теплового движения:

$v_T \approx v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m_e}}$

Подставим значения:

$v_T \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 11.2 \times 10^{-19} \text{ Дж}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{2.46 \times 10^{12} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 1.57 \times 10^6 \text{ м/с}$

Это огромная скорость, сравнимая со скоростью света (примерно 0.5% от нее).

Средняя скорость упорядоченного (дрейфового) движения электронов

При наложении внешнего электрического поля на хаотическое тепловое движение накладывается направленное движение электронов против силовых линий поля. Это и есть электрический ток. Скорость этого направленного движения называется дрейфовой скоростью. Она значительно меньше скорости теплового движения из-за постоянных столкновений электронов с ионами кристаллической решетки.

Оценим эту скорость для медного провода, по которому течет ток.

Дано:

Сила тока: $I = 1 \text{ А}$ (типичное значение для бытовой техники)

Площадь поперечного сечения провода: $S = 1 \text{ мм}^2$

Плотность меди: $\rho \approx 8.96 \text{ г/см}^3$

Молярная масса меди: $M \approx 63.5 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Элементарный заряд: $e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Переведем все данные в систему СИ:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \times (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho = 8.96 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8.96 \frac{10^{-3} \text{кг}}{(10^{-2} \text{м})^3} = 8.96 \times 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$M = 63.5 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0.0635 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

Среднюю скорость упорядоченного движения $v_d$.

Решение:

Сила тока связана с дрейфовой скоростью формулой $I = n e v_d S$, где $\text{n}$ — концентрация свободных электронов. Сначала найдем концентрацию. Предполагая, что каждый атом меди отдает один свободный электрон, концентрация электронов равна концентрации атомов:

$n = \frac{\rho N_A}{M}$

$n = \frac{(8.96 \times 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot (6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1})}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 8.5 \times 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Теперь выразим дрейфовую скорость из формулы для тока:

$v_d = \frac{I}{n e S}$

Подставим значения:

$v_d = \frac{1 \text{ А}}{(8.5 \times 10^{28} \text{ м}^{-3}) \cdot (1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (10^{-6} \text{ м}^2)} \approx 7.35 \times 10^{-5} \text{ м/с}$

Это примерно 0.0735 мм/с. То есть, электроны движутся направленно со скоростью меньше миллиметра в секунду.

Сравнение:

Скорость теплового движения: $v_T \approx 1.6 \times 10^6 \text{ м/с}$.

Скорость упорядоченного (дрейфового) движения: $v_d \approx 7.4 \times 10^{-5} \text{ м/с}$.

Соотношение скоростей:

$\frac{v_T}{v_d} \approx \frac{1.6 \times 10^6}{7.4 \times 10^{-5}} \approx 2.16 \times 10^{10}$

Таким образом, средняя скорость хаотического теплового движения электронов в металле на 10 порядков (в десятки миллиардов раз) больше, чем средняя скорость их упорядоченного движения, создающего электрический ток.

Ответ: Средняя скорость теплового движения электронов в металле (порядка $10^6$ м/с) на много порядков (примерно в $10^{10}$ раз) превышает среднюю скорость их упорядоченного (дрейфового) движения под действием электрического поля (порядка $10^{-4} - 10^{-5}$ м/с).