Номер 2, страница 193 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

2. К противоположным концам диагонали каркаса в форме куба (рис. 228) подводится постоянное напряжение, по ребрам куба текут токи. Чему равна магнитная индукция поля в центре куба?

Рис. 227. К упражнению 28.1

Рис. 228. К упражнению 28. 2

2. Решение:

Задача решается с использованием принципа суперпозиции и соображений симметрии. Магнитное поле в центре куба равно векторной сумме полей, создаваемых токами в каждом из 12 ребер каркаса.

Поместим центр куба в начало координат $O(0,0,0)$, а оси координат направим параллельно ребрам куба. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда вершины куба будут иметь координаты $(\pm a/2, \pm a/2, \pm a/2)$. Пусть напряжение приложено к противоположным вершинам $A(-a/2, -a/2, -a/2)$ и $A'(a/2, a/2, a/2)$.

Пусть общий ток, втекающий в куб в вершине $A$, равен $I$. Из-за симметрии куба относительно главной диагонали $AA'$, этот ток разделится поровну между тремя ребрами, выходящими из вершины $A$. Ток в каждом из этих ребер будет равен $I/3$. Далее, в следующих трех вершинах каждый из этих токов снова разделится поровну на два ребра, и ток в этих шести ребрах станет равен $(I/3)/2 = I/6$. Наконец, эти токи попарно сливаются и тремя потоками по $I/3$ втекают в конечную вершину $A'$.

Для нахождения результирующего поля $\vec{B}$ в центре куба, разобьем все 12 ребер на три группы:
1. Три ребра, выходящие из вершины $A$ (ток в каждом $I/3$).
2. Три ребра, входящие в вершину $A'$ (ток в каждом $I/3$).
3. Шесть промежуточных ребер (ток в каждом $I/6$).

Рассмотрим вклад каждой группы в результирующее поле в центре куба.

Группа 1: Три ребра, выходящие из вершины $A(-a/2, -a/2, -a/2)$.
Эти три ребра лежат на прямых, параллельных осям координат. В силу симметрии их расположения относительно центра куба, модули векторов магнитной индукции, создаваемых ими в центре, будут одинаковы. Найдем направления этих векторов, используя правило векторного произведения из закона Био-Савара-Лапласа, $\vec{B} \propto \int I d\vec{l} \times \vec{r}$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор из элемента тока в точку наблюдения (центр).
- Ребро с током вдоль оси $x$: $d\vec{l} \propto \hat{i}$, $\vec{r} \propto (a/2)\hat{j} + (a/2)\hat{k}$. Вектор индукции $\vec{B}_x \propto \hat{i} \times (\hat{j}+\hat{k}) = \hat{k}-\hat{j}$.
- Ребро с током вдоль оси $y$: $d\vec{l} \propto \hat{j}$, $\vec{r} \propto (a/2)\hat{i} + (a/2)\hat{k}$. Вектор индукции $\vec{B}_y \propto \hat{j} \times (\hat{i}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{k}$.
- Ребро с током вдоль оси $z$: $d\vec{l} \propto \hat{k}$, $\vec{r} \propto (a/2)\hat{i} + (a/2)\hat{j}$. Вектор индукции $\vec{B}_z \propto \hat{k} \times (\hat{i}+\hat{j}) = \hat{j}-\hat{i}$.
Суммарный вектор индукции от этой группы, учитывая равенство модулей $B_x=B_y=B_z=B_0$:
$\vec{B}_1 = \vec{B}_x + \vec{B}_y + \vec{B}_z \propto (\hat{k}-\hat{j}) + (\hat{i}-\hat{k}) + (\hat{j}-\hat{i}) = (1-1)\hat{i} + (-1+1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = \vec{0}$.
Таким образом, суммарное поле от первой группы ребер в центре куба равно нулю.

Группа 2: Три ребра, входящие в вершину $A'(a/2, a/2, a/2)$.
Эта конфигурация ребер полностью симметрична конфигурации первой группы относительно центра куба. По тем же соображениям симметрии, суммарное магнитное поле от этой группы ребер в центре куба также равно нулю.

Группа 3: Шесть промежуточных ребер.
Можно провести аналогичный детальный расчет для шести ребер с током $I/6$. Вклады в магнитное поле от этих ребер в центре куба также взаимно компенсируются.
Например, рассмотрим пару ребер: ребро от $(a/2, -a/2, -a/2)$ до $(a/2, a/2, -a/2)$ и ребро от $(-a/2, a/2, a/2)$ до $(-a/2, -a/2, a/2)$. Они симметричны относительно центра куба, но токи в них текут в противоположных направлениях. По закону Био-Савара-Лапласа, поле от прямолинейного проводника в точке, находящейся на перпендикуляре к его середине, определяется как $\vec{B} = (\mu_0/4\pi) \cdot (I/d) \cdot (2L/\sqrt{d^2+L^2}) \cdot \hat{\tau}$, где $\hat{\tau}$ - единичный вектор направления. Для симметричных ребер все величины, кроме направления тока, одинаковы. Но так как и положения ребер, и направления токов в них противоположны ($d\vec{l}_2 = -d\vec{l}_1$ в точке $\vec{p}_2=-\vec{p}_1$), их вклады в поле в центре оказываются одинаковыми: $d\vec{B}_1 \propto d\vec{l}_1 \times (-\vec{p}_1)$, $d\vec{B}_2 \propto d\vec{l}_2 \times (-\vec{p}_2) = (-d\vec{l}_1) \times (\vec{p}_1) = d\vec{l}_1 \times (-\vec{p}_1)$. Таким образом, поля от симметричных пар не сокращаются, а складываются.
Однако, если просуммировать поля от всех шести ребер, их общая сумма окажется нулевой. Векторные вклады от каждого из 6 ребер пропорциональны:
1. $(\hat{i}+\hat{k})$
2. $(-\hat{i}-\hat{j})$
3. $(-\hat{j}-\hat{k})$
4. $(\hat{i}+\hat{j})$
5. $(\hat{j}+\hat{k})$
6. $(-\hat{i}-\hat{k})$
Сумма этих векторов равна $(1-1+1-1)\hat{i} + (-1-1+1+1)\hat{j} + (1-1-1+1)\hat{k} = \vec{0}$.

Поскольку каждая из трех групп ребер создает в центре куба нулевое магнитное поле, их общая сумма также равна нулю.
$\vec{B}_{центр} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$.

Ответ: Магнитная индукция поля в центре куба равна нулю.