Страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Какое влияние оказывают виды случайных событий на случайные величины?

2. Как можно объяснить различие между случайными событиями и случайными величинами?

3. Какие элементы необходимы для составления закона распределения случайной величины?

4. Почему нельзя определить случайную величину без проведения испытаний?

1. Какое влияние оказывают виды случайных событий на случайные величины?

Случайные события и случайные величины тесно связаны, поскольку случайная величина по своей сути является числовым выражением исхода случайного события. Влияние видов случайных событий на случайные величины проявляется в следующем:

1. Определение типа случайной величины. Пространство элементарных случайных событий (всех возможных исходов эксперимента) определяет, будет ли случайная величина дискретной или непрерывной.
• Если множество всех возможных исходов эксперимента конечно или счётно (например, выпадение "орла" или "решки", количество бракованных изделий в партии), то случайная величина, ставящая в соответствие этим исходам числа, будет дискретной.
• Если исходы эксперимента могут принимать любое значение в некотором промежутке (например, результат измерения температуры, время ожидания автобуса), то соответствующая случайная величина будет непрерывной.

2. Формирование закона распределения. Вероятности случайных событий напрямую определяют закон распределения случайной величины. Закон распределения показывает, с какими вероятностями случайная величина принимает те или иные значения.
• Для дискретной случайной величины $X$, вероятность того, что она примет конкретное значение $x_i$, равна вероятности события $A_i$, при котором это значение достигается: $P(X = x_i) = P(A_i)$. Совокупность этих вероятностей для всех возможных значений и составляет закон распределения.
• Для непрерывной случайной величины вероятность попадания в некоторый интервал $(a, b)$ равна вероятности события, заключающегося в том, что исход эксперимента приведет к значению из этого интервала.

3. Влияние на свойства случайных величин. Свойства взаимосвязей между событиями (например, независимость, несовместность) переносятся на соответствующие случайные величины.
• Если два события $A$ и $B$ независимы, то и случайные величины, определенные на основе этих событий, часто оказываются независимыми. Это имеет ключевое значение при анализе систем из нескольких случайных величин.
• Несовместные события (которые не могут произойти одновременно) приводят к тому, что случайная величина не может одновременно принять значения, соответствующие этим событиям.

Таким образом, случайные события являются первоосновой для случайных величин. Они определяют их тип (дискретный или непрерывный), их вероятностное поведение (закон распределения) и их взаимосвязи с другими величинами.

Ответ: Виды случайных событий определяют тип случайной величины (дискретная или непрерывная), её закон распределения вероятностей и такие свойства, как независимость, поскольку случайная величина является числовой функцией от исходов случайных событий.

2. Как можно объяснить различие между случайными событиями и случайными величинами?

Различие между случайным событием и случайной величиной заключается в их природе и роли в теории вероятностей. Их можно сравнить как качественное описание и количественную меру исхода эксперимента.

Случайное событие — это качественный результат случайного эксперимента (опыта). Оно отвечает на вопрос "что произошло?". Событие либо происходит, либо не происходит.
• Природа: Это подмножество всех возможных исходов эксперимента.
• Примеры: "При броске монеты выпал орёл", "Из колоды карт извлечён туз", "Температура воздуха завтра будет выше 20°C".
• Характеристика: Основная характеристика события — его вероятность, то есть степень возможности его наступления.

Случайная величина — это количественная характеристика случайного эксперимента. Она отвечает на вопрос "каково значение?". Это переменная, которая в результате опыта принимает одно из множества своих возможных числовых значений.
• Природа: Это функция, которая каждому элементарному исходу эксперимента ставит в соответствие число.
• Примеры: "Число выпавших орлов при трёх бросках монеты" (может принимать значения 0, 1, 2, 3), "Номинал извлечённой карты" (может принимать значения от 2 до 14, если туз - 14), "Температура воздуха завтра в градусах Цельсия" (может принимать значения из некоторого диапазона, например, от 15.0 до 25.0).
• Характеристика: Основная характеристика случайной величины — её закон распределения, который описывает, какие значения и с какой вероятностью она может принимать.

Проиллюстрируем на примере броска игральной кости:
• Случайные события: "Выпало чётное число", "Выпало число больше 4", "Выпала шестёрка".
• Случайная величина: $X$ — число очков, выпавшее на верхней грани кости. Эта величина может принимать числовые значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Событие "выпало чётное число" можно выразить через случайную величину $X$ как $X \in \{2, 4, 6\}$. Таким образом, случайная величина позволяет "оцифровать" результаты эксперимента, переводя качественные исходы в числовые значения, что делает их удобными для математического анализа.

Ответ: Случайное событие — это качественный исход эксперимента (произошло/не произошло), а случайная величина — это числовая функция, ставящая в соответствие каждому исходу эксперимента определённое числовое значение. Событие отвечает на вопрос "что?", а величина — на вопрос "сколько?".

3. Какие элементы необходимы для составления закона распределения случайной величины?

Закон распределения случайной величины — это любое правило (таблица, функция, график), которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Необходимые элементы для его составления зависят от типа случайной величины.

Для дискретной случайной величины (ДСВ)

Закон распределения ДСВ, которая принимает конечное или счётное число значений, можно задать, указав два элемента:
1. Все возможные значения случайной величины: $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$.
2. Соответствующие им вероятности: $p_1, p_2, \ldots, p_n, \ldots$, где $p_i = P(X = x_i)$.

При этом должно выполняться условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице: $\sum_{i} p_i = 1$. Чаще всего это представляют в виде таблицы, называемой рядом распределения.

Для непрерывной случайной величины (НСВ)

Для НСВ, которая может принимать любые значения из некоторого промежутка, невозможно перечислить все значения и их вероятности (так как вероятность принятия любого отдельного значения равна нулю). Поэтому используются функции:
1. Функция плотности вероятности (PDF) $f(x)$. Это неотрицательная функция ($f(x) \ge 0$), для которой вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $[a, b]$ равна площади под графиком этой функции на данном интервале:
$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
Полная площадь под графиком $f(x)$ должна быть равна единице: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$.

Наиболее универсальным способом, подходящим для обоих типов величин, является:
2. Интегральная функция распределения (CDF) $F(x)$. Эта функция для любого числа $x$ определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее $x$:
$F(x) = P(X < x)$.
Функция $F(x)$ однозначно определяет закон распределения. Зная её, можно найти все вероятностные характеристики величины.

Ответ: Для составления закона распределения дискретной случайной величины необходимы перечень всех её возможных значений и соответствующие им вероятности. Для непрерывной случайной величины необходима функция плотности вероятности $f(x)$ или интегральная функция распределения $F(x)$.

4. Почему нельзя определить случайную величину без проведения испытаний?

Это утверждение связано с самой сутью понятия "случайная величина". Следует различать теоретическое определение случайной величины и получение её конкретного значения или эмпирической оценки её характеристик.

1. Связь с экспериментом (испытанием). По определению, случайная величина — это переменная, которая принимает числовые значения в зависимости от случайного исхода некоторого эксперимента (испытания). Эксперимент — это процесс, порождающий случайность. Без эксперимента нет случайного исхода, а значит, и переменная не может быть случайной. Например, "рост наугад выбранного человека" является случайной величиной, потому что существует процесс "случайного выбора человека" — это и есть испытание.

2. Теоретическое определение vs. Реализация.
• Теоретически мы можем определить случайную величину, описав сам эксперимент и правило, по которому его исходам сопоставляются числа. Например: "Пусть $X$ — число очков при броске идеальной игральной кости". Мы определили случайную величину, даже не проводя бросок. Но это определение неразрывно связано с мыслью о проведении испытания.
• Чтобы получить конкретное значение (реализацию) этой случайной величины, необходимо физически провести испытание — бросить кость. До броска значение $X$ не определено, оно лишь потенциально может быть одним из чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Эмпирическое определение. Если закон распределения случайной величины неизвестен, то единственный способ его изучить (оценить) — это провести серию испытаний. Наблюдая за частотой появления различных значений, можно построить гистограмму, оценить среднее значение, дисперсию и другие характеристики. Без многократного проведения испытаний невозможно получить данные для анализа и "определить" (в смысле "изучить", "оценить") свойства этой случайной величины.

Таким образом, испытание является фундаментальным элементом, который порождает случайность и даёт "жизнь" случайной величине, переводя её из абстрактного математического объекта в наблюдаемое числовое значение.

Ответ: Нельзя определить значение случайной величины без проведения испытания, так как она по своей сути является числовым результатом случайного эксперимента. Испытание — это процесс, который порождает случайный исход, которому величина и сопоставляет число. Без испытания (реального или мысленного) нет случайного исхода, и, следовательно, нет и значения случайной величины.

276. Имеется неполный закон распределения случайной величины:

X: 4, 7, 10, 13, 17
p: 0,05, ?, ?, ?, 0,05

Заполните таблицу, учитывая, что доли неизвестных вероятностей равны между собой.

Дано:

Неполный закон распределения дискретной случайной величины X.
Возможные значения X: 4, 7, 10, 13, 17.
Соответствующие вероятности $p$: 0,05, ?, ?, ?, 0,05.
По условию, три неизвестные вероятности равны между собой.

Найти:

Неизвестные вероятности в законе распределения.

Решение:

Основное свойство закона распределения дискретной случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей равна единице:
$\sum p_i = 1$

В данном случае сумма вероятностей для всех значений X равна:
$p(X=4) + p(X=7) + p(X=10) + p(X=13) + p(X=17) = 1$

Известны вероятности $p(X=4) = 0,05$ и $p(X=17) = 0,05$.
Обозначим каждую из трех равных неизвестных вероятностей через $p_{неизв}$:
$p(X=7) = p(X=10) = p(X=13) = p_{неизв}$

Подставим все значения в уравнение суммы вероятностей:
$0,05 + p_{неизв} + p_{неизв} + p_{неизв} + 0,05 = 1$

Упростим уравнение, сложив известные вероятности и сгруппировав неизвестные:
$3 \cdot p_{неизв} + 0,1 = 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $p_{неизв}$:
$3 \cdot p_{неизв} = 1 - 0,1$
$3 \cdot p_{неизв} = 0,9$
$p_{неизв} = \frac{0,9}{3}$
$p_{неизв} = 0,3$

Таким образом, каждая из неизвестных вероятностей равна 0,3. Теперь можно заполнить таблицу.

Ответ:

Заполненная таблица закона распределения случайной величины:

277. В таблице дан неполный закон распределения случайной величины.

Заполните таблицу, учитывая, что неизвестные значения случайной величины вместе с данными составляют арифметическую прогрессию, а доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам 1 : 3, 5 : : 3, 5 : 1.

Решение

Для заполнения таблицы необходимо найти недостающие значения случайной величины $X$ и соответствующие им вероятности $p$.

1. Нахождение неизвестных значений случайной величины X

По условию, все значения случайной величины $X$ ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$) образуют арифметическую прогрессию. Из таблицы известны первый и шестой члены прогрессии:

$x_1 = 2$

$x_6 = 12$

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.Для $n=6$ подставим известные значения, чтобы найти $d$:

$x_6 = x_1 + (6-1)d$

$12 = 2 + 5d$

$5d = 12 - 2$

$5d = 10$

$d = 2$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем неизвестные значения $X$:

$x_2 = x_1 + d = 2 + 2 = 4$

$x_3 = x_2 + d = 4 + 2 = 6$

$x_4 = x_3 + d = 6 + 2 = 8$

$x_5 = x_4 + d = 8 + 2 = 10$

Таким образом, значения случайной величины: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

2. Нахождение неизвестных вероятностей p

Сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице:

$\sum_{i=1}^{6} p_i = 1$

Из таблицы известны вероятности $p_1 = 0,05$ и $p_6 = 0,05$. Найдем сумму остальных, неизвестных вероятностей:

$p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1 - (p_1 + p_6) = 1 - (0,05 + 0,05) = 1 - 0,1 = 0,9$

В условии сказано, что "доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам 1 : 3, 5 : 3, 5 : 1". Данная запись, скорее всего, содержит опечатку. Наиболее правдоподобной является интерпретация, согласно которой для четырех неизвестных вероятностей ($p_2, p_3, p_4, p_5$) используется отношение, составленное из первых четырех чисел в указанной последовательности, то есть $1:3:5:3$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда неизвестные вероятности можно выразить как:

$p_2 = 1 \cdot k = k$

$p_3 = 3k$

$p_4 = 5k$

$p_5 = 3k$

Сумма этих вероятностей равна $0,9$:

$k + 3k + 5k + 3k = 0,9$

$12k = 0,9$

$k = \frac{0,9}{12} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40} = 0,075$

Теперь найдем числовые значения для каждой неизвестной вероятности:

$p_2 = k = 0,075$

$p_3 = 3k = 3 \cdot 0,075 = 0,225$

$p_4 = 5k = 5 \cdot 0,075 = 0,375$

$p_5 = 3k = 3 \cdot 0,075 = 0,225$

Итоговая заполненная таблица закона распределения выглядит следующим образом:

Ответ:Неизвестные значения случайной величины $X$: 4, 6, 8, 10.Неизвестные вероятности $p$: 0,075; 0,225; 0,375; 0,225.Заполненная таблица приведена выше.