Номер 277, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

277. В таблице дан неполный закон распределения случайной величины.

Заполните таблицу, учитывая, что неизвестные значения случайной величины вместе с данными составляют арифметическую прогрессию, а доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам 1 : 3, 5 : : 3, 5 : 1.

Решение

Для заполнения таблицы необходимо найти недостающие значения случайной величины $X$ и соответствующие им вероятности $p$.

1. Нахождение неизвестных значений случайной величины X

По условию, все значения случайной величины $X$ ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$) образуют арифметическую прогрессию. Из таблицы известны первый и шестой члены прогрессии:

$x_1 = 2$

$x_6 = 12$

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.Для $n=6$ подставим известные значения, чтобы найти $d$:

$x_6 = x_1 + (6-1)d$

$12 = 2 + 5d$

$5d = 12 - 2$

$5d = 10$

$d = 2$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем неизвестные значения $X$:

$x_2 = x_1 + d = 2 + 2 = 4$

$x_3 = x_2 + d = 4 + 2 = 6$

$x_4 = x_3 + d = 6 + 2 = 8$

$x_5 = x_4 + d = 8 + 2 = 10$

Таким образом, значения случайной величины: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

2. Нахождение неизвестных вероятностей p

Сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице:

$\sum_{i=1}^{6} p_i = 1$

Из таблицы известны вероятности $p_1 = 0,05$ и $p_6 = 0,05$. Найдем сумму остальных, неизвестных вероятностей:

$p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1 - (p_1 + p_6) = 1 - (0,05 + 0,05) = 1 - 0,1 = 0,9$

В условии сказано, что "доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам 1 : 3, 5 : 3, 5 : 1". Данная запись, скорее всего, содержит опечатку. Наиболее правдоподобной является интерпретация, согласно которой для четырех неизвестных вероятностей ($p_2, p_3, p_4, p_5$) используется отношение, составленное из первых четырех чисел в указанной последовательности, то есть $1:3:5:3$.

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда неизвестные вероятности можно выразить как:

$p_2 = 1 \cdot k = k$

$p_3 = 3k$

$p_4 = 5k$

$p_5 = 3k$

Сумма этих вероятностей равна $0,9$:

$k + 3k + 5k + 3k = 0,9$

$12k = 0,9$

$k = \frac{0,9}{12} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40} = 0,075$

Теперь найдем числовые значения для каждой неизвестной вероятности:

$p_2 = k = 0,075$

$p_3 = 3k = 3 \cdot 0,075 = 0,225$

$p_4 = 5k = 5 \cdot 0,075 = 0,375$

$p_5 = 3k = 3 \cdot 0,075 = 0,225$

Итоговая заполненная таблица закона распределения выглядит следующим образом:

Ответ:Неизвестные значения случайной величины $X$: 4, 6, 8, 10.Неизвестные вероятности $p$: 0,075; 0,225; 0,375; 0,225.Заполненная таблица приведена выше.