Номер 272, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

272. На книжной полке расположены 5 учебников и 4 книги по художественной литературе. Ученик наугад берет 2 книги. Найдите вероятность того, что взятые книги будут по художественной литературе.

Дано:

Количество учебников: 5
Количество книг по художественной литературе: 4
Всего книг на полке: $5 + 4 = 9$
Количество книг, которые берет ученик: 2

Найти:

Вероятность $P(A)$ того, что обе взятые книги будут по художественной литературе.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{M}{N}$, где $N$ – общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число возможных исходов $N$. Это количество способов, которыми можно выбрать 2 книги из 9 имеющихся. Поскольку порядок выбора книг не важен, используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ В нашем случае $n=9$ (всего книг), $k=2$ (берем две книги). $N = C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9}{2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$. Таким образом, общее число способов выбрать 2 книги из 9 равно 36.

2. Найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это выбор двух книг по художественной литературе. Всего таких книг 4. Число способов выбрать 2 книги по художественной литературе из 4 имеющихся: $M = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$. Таким образом, существует 6 способов выбрать 2 книги по художественной литературе.

3. Вычислим искомую вероятность: $P(A) = \frac{M}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Альтернативный способ решения (через условную вероятность):

Найдем вероятность того, что первая взятая книга — художественная. На полке 4 художественные книги из 9. $P_1 = \frac{4}{9}$.

После того как взяли одну художественную книгу, на полке осталось 8 книг, из которых 3 — художественные. Вероятность того, что и вторая книга будет художественной, при условии, что первая уже была художественной: $P_2 = \frac{3}{8}$.

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, равна произведению их вероятностей: $P(A) = P_1 \cdot P_2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.