Номер 268, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы неравенств (268–269):

268. 1)

$\begin{cases} \log_{0.2} (x+1) \ge -1 \\ 2x-1 < 5 \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \lg(1-x) \le 1 \\ 3-x \le 2 \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \ln(x+5) \le 0 \\ x+15 > 6x \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 11x+12 \ge 13x \\ \log_7(31-2x) < 1 \end{cases}$

1)

Дано:

$\begin{cases} \log_{0,2}(x+1) \ge -1 \\ 2x-1 < 5 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,2}(x+1) \ge -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $-1 = \log_{0,2}(0,2^{-1}) = \log_{0,2}(5)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0,2}(x+1) \ge \log_{0,2}(5)$.

Так как основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x+1 \le 5$.

Отсюда $x \le 4$.

С учетом ОДЗ ($x > -1$), получаем решение первого неравенства: $-1 < x \le 4$, или $x \in (-1; 4]$.

2. Решим второе неравенство: $2x-1 < 5$.

Перенесем $-1$ в правую часть: $2x < 5+1$, то есть $2x < 6$.

Разделим обе части на 2: $x < 3$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in (-1; 4]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.

2)

Дано:

$\begin{cases} \lg(1-x) \le 1 \\ 3-x \le 2 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\lg(1-x) \le 1$.

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $1 = \lg(10)$.

Неравенство принимает вид: $\lg(1-x) \le \lg(10)$.

Так как основание логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $1-x \le 10$.

Переносим 1 вправо: $-x \le 9$.

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: $x \ge -9$.

С учетом ОДЗ ($x < 1$), получаем решение первого неравенства: $-9 \le x < 1$, или $x \in [-9; 1)$.

2. Решим второе неравенство: $3-x \le 2$.

Переносим 3 вправо: $-x \le 2-3$, то есть $-x \le -1$.

Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: $x \ge 1$. Решение второго неравенства: $x \in [1; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства $x \in [-9; 1)$, а второго $x \in [1; +\infty)$. Эти множества не имеют общих точек, так как первое множество не включает 1, а второе начинается с 1.

Пересечение множеств пусто: $[-9; 1) \cap [1; +\infty) = \emptyset$.

Ответ: нет решений.

3)

Дано:

$\begin{cases} \ln(x+5) \le 0 \\ x+15 > 6x \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $\ln(x+5) \le 0$.

ОДЗ: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

Представим правую часть в виде натурального логарифма: $0 = \ln(1)$.

Неравенство принимает вид: $\ln(x+5) \le \ln(1)$.

Так как основание $e > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $x+5 \le 1$.

Отсюда $x \le -4$.

С учетом ОДЗ ($x > -5$), получаем решение первого неравенства: $-5 < x \le -4$, или $x \in (-5; -4]$.

2. Решим второе неравенство: $x+15 > 6x$.

Переносим $x$ вправо, а числа оставляем слева: $15 > 6x - x$, то есть $15 > 5x$.

Разделим обе части на 5: $3 > x$, или $x < 3$. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-5; -4]$ и $x \in (-\infty; 3)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-5; -4]$.

Ответ: $(-5; -4]$.

4)

Дано:

$\begin{cases} 11x+12 \ge 13x \\ \log_7(31-2x) < 1 \end{cases}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие системе неравенств.

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $11x+12 \ge 13x$.

Переносим $11x$ в правую часть: $12 \ge 13x - 11x$, то есть $12 \ge 2x$.

Разделим обе части на 2: $6 \ge x$, или $x \le 6$. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 6]$.

2. Решим второе неравенство: $\log_7(31-2x) < 1$.

ОДЗ: $31-2x > 0$, откуда $31 > 2x$, или $x < 15,5$.

Представим правую часть в виде логарифма по основанию 7: $1 = \log_7(7)$.

Неравенство принимает вид: $\log_7(31-2x) < \log_7(7)$.

Так как основание $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $31-2x < 7$.

Переносим 31 вправо: $-2x < 7-31$, то есть $-2x < -24$.

Разделим на -2 и сменим знак неравенства: $x > 12$.

С учетом ОДЗ ($x < 15,5$), получаем решение второго неравенства: $12 < x < 15,5$, или $x \in (12; 15,5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решение первого неравенства $x \in (-\infty; 6]$, а второго $x \in (12; 15,5)$. Эти множества не пересекаются.

Пересечение множеств пусто: $(-\infty; 6] \cap (12; 15,5) = \emptyset$.

Ответ: нет решений.